a——圆形试样 (圆形液态金属 )的半径 ; b——圆形线圈的半径 ; B——液态金属表面的磁感应强度 ; Bz,B*z —— z方向的磁感应强度及其共轭复数 ; Br,B*r —— r方向的磁感应强度及其共轭复数 ; d——液态金属的直径 ; d2 ——矩形试样 (矩形液态金属 )的宽度 ; f——电磁场的频率 ; g——重力加速度 ; H——磁场强度 ; Hz,H0 —— z方向和液态金属表面的磁场强度 ; Hδ——液态金属在 δ处的磁场强度 ;符 号 总 表h,L——矩形试样 (矩形液态金属 )的长度和高度 ; i,j,k,l,m,n,t,w(下角 )——单元体结点的编号 ; j—— - 1的虚数单位 ; J——
电流密度 ; Jij,Jkl——液态金属单元体 (i,j)和液态金属单元体 (k,l)的电流密度 ; Jsmn,Jctw——屏蔽罩单元体 (m ,n)和感应器单元体 (t,w)的电流密度 ; Jy—— y方向的电流密度 ; Jθ——方位角θ方向的电流密度 ; k——液态金属的表面曲率 ; M,N——液态金属轴向和径向坐标上最大剖分数 ; MS,N S——屏蔽罩轴向和径向坐标上最大剖分数 ; MC,N C——感应线圈轴向和径向坐标上最大剖分数 ; p——液态金属的电磁压力 ; q——液态金属的加热密度 ; Q——液态金属的加热能量 ; r——径向坐标 ; x,y,z——坐标方向 ; Z——液态金属的高度 ; μ——磁导率 ; γ——液态金属的表面张力系数 ; ρ——液态金属的密度 ; ω——电磁场的角频率 ; σ——电导率 ; η——液态金属的粘度 ; τ——时间 ; δ——液态金属的集肤层。 利用电磁约束液态金属实现无模壳铸造和熔炼的方法已应用在电磁连续铸造和电磁悬浮等多种技术之中<1～ 4 > 。在电磁连续铸造方面 ,已有人提出了简化的一维、二维和三维数学模型 ,并取得了大量的研究成果 <5～ 7>。但由于该技术开发时间不长 ,液态金属的电磁成形又是在复杂的三维电磁场中无模壳成形 ,磁场与液态金属的温度场、流场相耦合 ,形成了一个十分复杂的问题 ,所以目前在该三维数学模型的指导下 ,仅能成形出圆锭和方锭这两种简单形状的铸锭。计算机技术的发展和高速、大容量计算机的出现为 解决上述三维复杂耦合场问题提供了条件。但是对于复杂形状液态金属的电磁成形目前还没有较好的数学模型,这是因为 :1复杂形状液态金属电磁成形的影响因素很多 ,简化的模型与实际电磁成形模型差别较大 ;2 复杂形状液态金属电磁成形的实验难以开展 ,数学模型难以验证。鉴于研究复杂形状液态金属的电磁成形是用电磁场来实现无接触熔炼和无污染成形零件的需要 ,也是制造高性能产品的关键 ,因此在实验工作较难进行的情况下 ,开展理论研究和数值模拟是十分重要的。1 液态金属电磁成形的原理及其涡流场的计算方程1 .1 液态金属电磁成形原理 如图 1所示 ,在感应线圈中通入高频电流 ,线圈中的金属试样表面就会感应出涡流 ,产生焦耳热使试样熔化。另一方面 ,涡流与线圈中的磁场发生作用 ,产生电磁压力 ,约束熔化的液态金属在非接触状态下形成一稳定形状。在液柱表面 ,力的平衡关系式图 1 液态金属电磁成形原理Fig.1 The principle of electrom agneticshaping for liquid m etal一般为 : B2 /2 μ+ γk=ρg Z ( 1 ) 方程 ( 1 )中 ,左边两项分别为作用在液态金属表面的电磁压力和表面张力 ;右边为液态金属的静压力。从方程 ( 1 )可看出 ,液态金属电磁成形后的形状是上述 3个力共同作用的结果。从数学计算的角度出发 ,需计算作用在液态金属表面上的磁感应强度和表面张力的大小 ,其中计算磁感应强度将涉及到试样中涡流场的计算。1 .2 涡流场的计算方程 由于实验中高频电磁场的波长远大于实验装置的最大限度尺寸 ,因此可将高频电磁场作为准静态电磁场来考虑 ,忽略位移电流 ,利用麦克斯韦电磁场方程组获得磁场控制方程 : 2 H- μσ H τ- μσ 2 H τ2 =0 ( 2 )在正弦稳定状态时间变化场中 ,涡流方程可简化为 : 2 H- jωμσH=0 ( 3) 从理论上讲 ,将方程 ( 3)与 3类边界条件和两类初始条件结合 ,就可以求得磁场分布。但是由于理论精确求解的复杂性 ,迄今为止只能采用数值求解法来计算磁场分布。2 液态金属电磁成形的物理模型和数学模型2 .1 液态金属电磁成形的半无限大模型 当液态金属的集肤层与液态金属的直径相比十分小时 ( δ d) ,d可视为无限大 ,如图 2所示。若在 x轴的正方向半无限扩展的静止液态金属的表面 ( z- y平面 )加一个与 z方向平行的振动磁场 ,则液态金属中的磁场分布为 <4 > : Hz=H0 exp<- x ω/( 2η) >expj<-x ω/( 2η) + ωτ>( 4 )求得液态金属的电磁压力为 : p=∫∞0 <μH20 /( 2δ) >exp( - 2 x/δ) dx=μH20 /4( 5)另一方面 ,由平均单位体积和单位时间的加热密度计算可得到 : q=( ×Hz) 2 /σ=<ωB20 /( 2 μ) >exp( - 2 x/δ) ( 6)则平均单位表面积 ( z- y)能够输入的加热能量为 : Q=∫∞0 qdx=14μωδB20 =p 2ω/(μσ) ( 7)则 : Q/p=2ω/(μσ) ( 8) 要使液态金属在电磁场作用下约束成一定的形状 ,首先必须将固态金属无接触加热熔化。从方程图 2 液态金属电磁成形的半无限大模型中的磁场分布Fig.2 Magnetic field distribution for sem i- infinitem odel of electrom agnetic shapingof liquid m etal( 7)可知 ,加热能量与电磁场角频率的均方根成正比 ,电磁场的角频率越高 ,固态金属熔化速率越快。但高频电磁场并不一定适合液态金属电磁成形 ,要找到一个合适频率的电磁场 ,使固态金属既能熔化 ,又能成形 ,困难很大 ,因为频率对加热能量和电磁压力的影响规律不同。由此产生了采用双频电磁场的设想 ,即一种频率的电磁场 (其产生的电磁压力小 )主要用于感应加热熔化固态金属 ;另一种频率的电磁场 (产生的加热能量小 )主要用于液态金属电磁成形 ,如图 3所示 ,两种频率的电磁场结合起来就能同时实现固态金属的加热熔化和液态金属的约束成形。这种双频电磁成形原理和方法已得到实验验证。图 3 电磁场频率和电磁压力与加热功率的关系△— p4=160 0 Pa; ▲— p3=12 0 0 Pa;●— p2 =80 0 Pa; ○— p1 =40 0 PaFig.3 The relationship between frequency,electromagnetic pressure and theheating power 以上给出的半无限大模型很好地阐明了液态金属电磁成形的原理 ,初步给出了电磁压力和加热密度的表达式 ,但由于简化条件太多 ,没有考虑试样尺寸和加热线圈的影响 ,与实际情况有较大的偏差。2 .2 液态金属电磁成形的一维和二维数学模型 如图 4所示 ,根据电磁场理论推导出圆形线圈中液态金属在径向坐标 r处的平均磁场强度和电磁压力分别为<5> : H =H0berm+ jbeimberm2 + jbeim2 ( 9) p=μH204 1 - 1ber2 m2 + bei2 m2 ( 1 0 )式中 ,m=2 r/δ,m2 =2 a/δ。利用同样的近似图 4 液态金属电磁成形的一维 (a)和二维(b)、(c)、(d)数学模型Fig.4 EMS model used for one and two- dim ensionalsemi- infinite analysis处理方法可获得图 4( b)、4( c)和 4( d)二维分析模型中液态金属的磁场强度和电磁压力的表达式。从方程 ( 5)～ ( 1 0 )来看 ,作用在液态金属表面的电磁压力和加热密度主要取决于两点 ,即 :1液态金属表面上磁场强度的大小 ;2 磁场在液态金属中的分布规律。 液态金属表面上磁感应强度的大小是由空载线圈中磁感应强度和 液态金属表面上电磁场的边界条件来共同确定的。而磁场在液态金属中的分布规律可根据不同情况作具体分析:对于半无限大模型 ,磁场在液态金属中的分布为方程 ( 4 ) ;对圆形线圈 ,液态金属的磁场分布为方程 ( 9) ;而矩形线圈中液态金属的磁场分布如图 5所示。根据电磁场理论推导出矩形线圈中液态金属的平均磁场强度和电磁压力分布分别为<8> : H=H0 chβxch β2 d2( 1 1 ) p=μ4H20ch2βx+ cos2βxchβd2 + cosβd2 ( 1 2 ) 其中 ,β=±πfμσ( 1 + j)。方程 ( 1 1 )为矩形线圈中液态金属的磁场分布规律 ,它与圆形线圈中液态金属的磁场分布规律方程 ( 9)不大相同。但当圆形线圈中液态金属的半径和矩形线圈中液态金属的宽度与集肤层之比分别大于 3 2和 4时 ,贝塞尔函数和双曲函数都可以用指数函数来近似表示 ,而余弦函数值与双曲函数
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