具有低对称六方结构的金属晶体,其物理和力学性能呈强的各向异性,如弹性模量绕Ｃ轴呈对称分布 ,Ｃ轴方向的弹性模量(143.3ＧＰａ)远大于底面各方向的弹性模量(104.4ＧＰａ) 。因此只要建立弹性模量Ｅ的方向分布与Ｃ轴织构的方向分布之间的关系,通过板材的织构测定, 就可以计算合金板材的弹性模量,并可通过合金化、加工与热处理工艺的调整,有目的地控制织构 与弹性各向异性,以满足实际使用的要求。人们一般采用反极图或极图法,由单晶弹性数据,结合 极密度加权平均,计算多晶金属板材的弹性<1>,然而反极图与极图法均为二维的,且在织构测 量时需要叠片制样,既费时又不精确。为此,Ｂｕｎｇｅ<2>,Ｍｏｒｒｉｓ<3>和ＺＵＯ< 4>等人发展了一种以三维取向分布函数(ＯＤＦ)为基础的新方法,根据单晶弹性数据和少量有 限的织构系数(至四阶的Ｃ系数),便可简捷地计算六方织构板材的弹性向各异性。其中根据Ｖｏ ｉｇｔＲｅｕｓｓＨｉｌｌ等的平均法,结合织构加权函数,对含磷深冲钢板以及六方Ｚｎ板的弹 性计算已取得很好的结果,但对钛合金板材尚未见报道。为此本文将主要采用ＺＵＯ<4>的方法 计算织构钛合金板材的弹性模量,并讨论了几种方法的一致性。1 金属板材弹性各向异性的计算 方法1.1 多晶材料的弹性性质上面已扼要介绍了在一定的假设条件下,通过相应的平均方法, 能够从单晶的数据计算多晶材料的弹性性质。Ｖｏｉｇｔ平均法系假设多晶体内的所有晶粒的应变 增量相等,而Ｒｅｕｓｓ平均法则假设在整个试样中应力均匀分布。Ｈｉｌｌ<5,6>认为这两 种模型均不真实,因为在恒应变模型中,相邻晶粒之间的应力难以平衡,而在恒应力模型中,晶粒 的畸变在晶界上不能连续。Ｈｉｌｌ指出根据Ｖｏｉｇｔ研究的弹性模量要大于根据Ｒｅｕｓｓ所 得的结果,正确的数值应处于两者之间。Ｂｕｎｇｅ<7>也指出在单轴拉伸下,Ｖｏｉｇｔ近似 对于铅笔型晶粒组成的多晶体结构是正确的,而Ｒｅｕｓｓ近似则对于片状晶组成的多晶体是合理 的。因此真实的计算模型应是Ｈｉｌｌ近似,即由晶粒形状因子ｍ作为加权值,对于等轴晶的多晶 体ｍ=0.5。Ｂｕｎｇｅ将ＶｏｉｇｔＲｅｕｓｓＨｉｌｌ近似法推广应用于具有立方晶系数的 织构多晶材料。Ｍｏｒｒｉｓ<3>则发展了一种利用织构加权函数的平均四阶张量法,该法适用 于正交晶系和更高的晶系(四方、六方和立方系)多晶板材的弹性计算。近年来Ｂｕｎｇｅ<2> ,ＺＵＯ<4>和ＬＩ<8>等人也就六方结构金属的弹性进行了计算,其中ＺＵＯ,Ｍｏｒｒｉ ｓ等人对多晶弹性的ＶｏｉｇｔＲｅｕｓｓＨｉｌｌ近似法给出了普遍解<4,9,10>。本文 将主要介绍这种方法并将其用于钛及其合金板材的弹性测算。1.2 六方结构金属板材的弹性计 算方法原理<4>作为一级近似,多晶材料弹性的平均值Ｅｉｊｋｌ=∮Ｅｉｊｋｌ·ｆ(ｇ)ｄ ｇ=Ｔｉｊｋｌｏｐｑｒ·Ｅｏｐｑｒ(1)式中 Ｔｉｊｋｌｏｐｑｒ为织构因子,Ｅｏｐｑｒ 为四阶弹性张量分量,ｆ(ｇ)为晶体取向分布函数,其中Ｅｉｊｋｌ是劲度量或顺度张量。对于 六方晶系,考虑到晶体对称性以及应力、应变张量的对称性,Ｅｏｐｑｒ只有5个独立分量即Ｅ1 111,Ｅ1122,Ｅ1133,Ｅ2323和Ｅ3333,因此Ｅｉｊｋｌ=Ｔｉｊｋｌ11 11·Ｅ1111+Ｔｉｊｋｌ1122·Ｅ1122+Ｔｉｊｋｌ1133·Ｅ1133+Ｔｉ ｊｋｌ3333·Ｅ3333+Ｔｉｊｋｌ2323·Ｅ2323(2)式中 Ｔｉｊｋｌｏｐｑ ｒ是对四阶弹性张量Ｅｏｐｑｒ为独立的Ｔｉｊｋｌｏｐｑｒ的线性组合,只有15个Ｔｉｊｋｌ ｏｐｑｒ独立,它们的系数ｅｎ′Ｌ′ｉｊｋｌｏｐｑｒ=ａＬ′ｎ′ｉｊｋｌｏｐｑｒ+ｉｂＬ ′ｎ′ｉｊｋｌｏｐｑｒ列于表1中。为方便起见用Ｔｕｖｓｔ表示Ｔｉｊｋｌｏｐｑｒ,线性独 立Ｔｕｖｓｔ的关系见文献<4>。对于板材试样,当拉伸坐标系(Ｏ-ｘｙｚ)相对于试样坐标 系(通常取轧向-横向-板面法向)的取向为{α,0,0},则Ｔｕｖｓｔ{α,0,0}=∑ 4ｌ=0(2)∑+Ｌｎ=-Ｌ<4π(2Ｌ+1)>-1/2·Ｃ1ｎＬｅｎＬ(ｕｖｓｔ)· ｅｘｐ(ｉｎα)(3)由式(3)可见,织构因子的计算和平均弹性张量的计算只需要测算至四 阶的织构系数Ｃ1ｎＬ,而ｅｎＬ是纯数学量,ａＬ′ｎ′,ｂＬ′ｎ′可查表1。实际计算如下 :例如,根据Ｒｅｕｓｓ平均法,Ｓ-Ｒ1111的计算如式(4)。ＳＲ1111=Ｔ1111 Ｓ1111+Ｔ1112Ｓ1122+Ｔ1113Ｓ1133+Ｔ3333Ｓ3333+Ｔ114 4Ｓ2323(4)根据与Ｔｕｖｓｔ线性相关的计算关系<4>,有Ｔ1112=0,Ｔ111 3=2Ｔ1211+2Ｔ1311,Ｔ1133=1-Ｔ1111-2Ｔ1211-2Ｔ1311 ,Ｔ1144=4Ｔ1211+4Ｔ1311(5)因此式(4)变为ＳＲ1111=Ｔ1111 Ｓ1111+Ｔ1113Ｓ1133+Ｔ1133Ｓ3333+Ｔ1144Ｓ2323(6)其中 只有织构因子Ｔ1111,Ｔ1211及Ｔ1311待算。它们的计算式可写成Ｔｕｖｓｔ{α, 0,0}=ａ00+15π(ａ20Ｃ102+ａ22Ｃ122ｃｏｓ2α)+16π(ａ40Ｃ 104+ａ42Ｃ124ｃｏｓ2α+ａ44Ｃ144ｃｏｓ4α)(7)式中 ａ00=(2π )-1·ａ00=8/15(对于Ｔ1111),而对于其它的织构因子,Ｔ1211及Ｔ131 1的ａ00,ａ20,ａ22,ａ40,ａ42和ａ44可查表1。表1 六方晶体对称的级数展 开系数<4>Ｔａｂｌｅ1 Ｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｅｎ′ Ｌ′(ｕｖｓｔ)=αＬ′ｎ′(ｕｖｓｔ)+ｉｂＬ′ｎ′(ｕｖｓｔ)ｆｏｒｈｅｘａｇｏｎ ａｌｃｒｙｓｔａｌｓｙｍｍｅｔｒｙＬ′ｎ′(ｕｖｓｔ)ａＬ′ｎ′(ｕｖｓｔ)00Ｂ0× 20Ｂ1×21Ｂ2×22Ｂ2×40Ｂ0×41Ｂ1×42Ｂ3×43Ｂ4×44Ｂ5×ｂＬ′ ｎ′(ｕｖｓｔ)21Ｂ2×22Ｂ2×41Ｂ1×42Ｂ3×43Ｂ4×44Ｂ5×11115 616-83-2112117-41-1121235281311721-4214111- 11151143-1161141-1221156168321231172-1-4-22 411-4-3-12511-11126114113411-4435114-43611- 1-2 Ｂ0=2(π)1/2/105;Ｂ1=(5π)1/2/105;Ｂ2=(30π)1 /2/105;Ｂ3=(10π)1/2/105;Ｂ4=(35π)1/2/105;Ｂ5=( 70π)1/2/105对于板材平面里的弹性模量Ｅ(α)的变化可按下式计算:Ｅ(α)=1 ＳＲ(1111){α,0,0}(8)对于Ｖｏｉｇｔ平均法也可以进行类似的计算,但Ｅｏｐ ｑｒ用劲度张量Ｃｏｐｑｒ替换。而Ｈｉｌｌ平均法可用下式计算:ＣＨｉｊｋｌ=<ＣＶｉｊｋ ｌ+(ＳＲｉｊｋｌ)-1>/2ＳＲｉｊｋｌ=<(ＣＶｉｊｋｌ)-1+ＳＲｉｊｋｌ>/2 (9)式中 (ＳＲｉｊｋｌ)-1,(ＣＶｉｊｋｌ)-1分别是ＳＲｉｊｋｌ,ＣＶｉｊｋｌ 的逆阵。2 实验方法选用纯钛和高弹钛合金板材。在Ｘ′ｐｅｒｔＭＲＤ衍射仪上,用Ｃｕ靶, 40ｋＶ,40ｍＡ,石墨单色器和正比计数管,测量了(010),(002),(110), (011)和(012)极图,步进Δα=Δβ=5°,α扫测范围0°～85°,β范围为0° ～360°,ＯＤＦ计算的展开度Ｌ=22。计算弹性模量时选用Ｃ102,Ｃ122,Ｃ104 ,Ｃ124和Ｃ144五个Ｃ系数,而钛单晶的弹性常数用Ｃ1111=162.4ＧＰａ,Ｃ1 122=92.0ＧＰａ,Ｃ1133=69ＧＰａ,Ｃ3333=180.7ＧＰａ和Ｃ232 3=46.7ＧＰａ;并由式(4),(7),(8)和(9)计算ＶｏｉｇｔＲｅｕｓｓＨｉｌ ｌ平均法的Ｅ(α)值。3 结果与讨论图1是热轧钛计算的ＯＤＦ。将由ＯＤＦ获得的Ｃ1ｎ4 和钛单晶的弹性常数代入式(4),(7),(8)和(9),计算了Ｖｏｉｇｔ,Ｒｅｕｓｓ和 Ｈｉｌｌ平均法的Ｅ(α)值,其结果如图2所示。由图2可见,横向的弹性模量(≈116ＧＰ ａ)大于轧向的弹性模量(≈108ＧＰａ),这与图1/图2的极图数据和ＯＤＦ分析结果相吻 合。由极图分析可知该板材的主要织构为(0001)±30°ＮＤ-ＴＤ〈1010〉,而由Ｏ ＤＦ分析可知主要的织构类型为{1215}〈1010〉,因此轧向的杨氏模量偏低是可以理解 的。轧向与横向弹性模量实际测量结果分别为107.7ＧＰａ和116ＧＰａ,实验测试结果与 理论预测相吻合。无论是ＺＵＯ<4>,还是Ｂｕｎｇｅ<2>的方法,其计算方法是一致的。例 如Ｂｕｎｇｅ<2>导出的Ｒｅｕｓｓ平均法的表达式为ＥＲ(α)=<ＳＲ(α)>-1(10 )ＳＲ(α)=Ｓ0/15+Ｓ2·Ｆ2(α)+Ｓ4·Ｆ4(α)(11)Ｓ0=-8Ｓ11+ 3Ｓ33+4Ｓ13+2Ｓ44(12)Ｓ2=-8Ｓ11+6Ｓ33+2Ｓ13+Ｓ44(13 )Ｓ4=Ｓ11+Ｓ33-Ｓ13-Ｓ44(14)将式(12),(13)和(14)代入式( 11)可得(用4位数字标记)ＳＲ(α)=815Ｓ1111+315Ｓ3333+415Ｓ1 133+815Ｓ1313+(-8Ｓ1111+6Ｓ3333+2Ｓ1133+4Ｓ1313) ·Ｆ2(α)+(Ｓ1111+Ｓ3333-Ｓ1133-4Ｓ1313)Ｆ4(α)(15)而 由式(4)ＺＵＯ<4>的结果,即可以得ＳＲ(α)=815Ｓ1111+315Ｓ3333+415Ｓ1133+815Ｓ1313+…(16)因此两者是一致的,而由Ｂｕｎｇｅ的Ｆ2及Ｆ4计算式:Ｆ2(α)=45252(12Ｃ112Ｐ02+Ｃ122Ｐ22ｃｏｓ2α)(17)图1 热轧工业钛板的ＯＤＦｓ(φ2截面,Ｌ=22)Ｆｉｇ.1 ＯＤＦｓｏｆｈｏｔｒ
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