外插齿刀设计的新方法

０　引言众所周知，插齿刀设计的关键在于：选择和确定插齿刀的变位系数时，须同时考虑插齿刀齿 顶变尖、齿轮副啮合时过渡曲线干涉、切齿时的齿轮根切和顶切等限制条件．传统设计方法主要采 用试算法，其最大的缺点是在计算被切齿轮不产生过渡曲线干涉的最大变位系数或不产生根切的最 小变位系数时，需反复多次试算；每一试算过程需经过多个步骤的计算（包括求反渐开线函数值、 反三角函数值及用插入法求中间值等），计算繁琐、设计效率低．本文介绍一种外插齿刀设计的新 方法，该方法克服了传统设计方法的缺点，不但应用范围广、计算简单、设计效率高而且可判断设 计的可行性．１　设计的基本原理给定插齿刀的齿数时，在ａ１０Ｏｒａ０直角坐标系中，由被切 齿轮顶切、根切、过渡曲线干涉和插齿刀齿顶变尖等限制条件分别作出曲线形成变位系数选择的限 制区域；由插齿刀齿顶圆半径计算式作出插齿刀齿顶圆半径曲线，其与限制区域边界的两交点坐标 ，就是插齿时许用的最小啮合中心距［ａ１０］ｍｉｎ、插齿刀最小齿顶圆半径［ｒａ０］ｍｉｎ 和最大啮合中心距［ａ１０］ｍａｘ、插齿刀最大齿顶圆半径［ｒａ０］ｍａｘ；通过下式（１） 、（２），ｉｎｖα１０＝２（Ｘ０＋Ｘ１）ｔａｎα／（Ｚ１＋Ｚ０）＋ｉｎｖα（１）ａ１０ ＝ｍ（Ｚ１＋Ｚ０）ｃｏｓα／２ｃｏｓα１０（２）式中　Ｘ１———被切齿轮变位系数；α１ ０———插齿刀与被切齿轮间的啮合角．就很容易算得插齿刀许用的最小、最大变位系数［Ｘ０］ ｍｉｎ、［Ｘ０］ｍａｘ．２　限制区域与插齿刀齿顶圆半径计算曲线２．１　限制区域在ａ１０ Ｏｒａ０直角坐标系中，插齿刀变位系数选择的限制区域由以下四条曲线组成．２．１．１　被切 齿轮顶切的限制曲线要保证插齿时被切齿轮不产生顶切，应满足下式：ａ１０ｓｉｎα１０－ｒａ １２－ｒｂ１２≥０整理后（极限条件下）为：（ａ１０）ｍｉｎ＝［ｍ（Ｚ１＋Ｚ０）ｃｏｓα ／２］２＋ｒａ１２－ｒｂ１２（３）式中　（ａ１０）ｍｉｎ———插齿时，被切齿轮不产生顶 切的最小啮合中心距；ｍ———被切齿轮（插齿刀）模数；Ｚ０———插齿刀齿数，设计时先给定 ；Ｚ１———被切齿轮齿数；α———被切齿轮（插齿刀）分圆处压力角；ｒａ１———被切齿轮 齿顶圆半径；ｒｂ１———被切齿轮基圆半径．将（ａ１０）ｍｉｎ代入式（１）、（２），可算 出被切齿轮不产生顶切时插齿刀的最小变位系数（Ｘ０）ｍｉｎ．在被切齿轮和插齿刀原始参数给 定时，（ａ１０）ｍｉｎ是定值．其限制曲线是垂直于ａ１０坐标轴的直线，且直线的右边是被切 齿轮不产生顶切的区域．２．１．２　被切齿轮根切的限制曲线要保证插齿时被切齿轮不产生根切 ，应满足下式：ａ１０ｓｉｎα１０－ｒａ０２－ｒｂ０２≥０整理后（极限条件下）为：（ｒａ ０）根切＝ａ１０２－［ｍ（Ｚ１＋Ｚ０）ｃｏｓα／２］２＋（ｍＺ０ｃｏｓα／２）２（４） 式中　（ｒａ０）根切———啮合中心距为ａ１０时，被切齿轮刚好不根切的插齿刀齿顶圆半径； ａ１０———插齿刀与被切齿轮间的啮合中心距．曲线的下方是被切齿轮不产生根切的区域．２． １．３　齿轮过渡曲线干涉的限制曲线要保证被切齿轮与配对齿轮在啮合时不产生过渡曲线干涉， 应满足下式：ａ１０ｓｉｎα１０－ｒａ０２－ｒｂ０２≤ρｍｉｎ　　整理后（极限条件下）为 ：（ｒａ０）干涉＝｛ａ１０２－［ｍ（Ｚ１＋Ｚ０）ｃｏｓα／２］２－ρｍｉｎ｝２＋（ｍＺ ０ｃｏｓα／２）２（５）式中　（ｒａ０）干涉———啮合中心距为ａ１０时，被切齿轮刚好不 产生过渡曲线干涉的插齿刀齿顶圆半径；　ρｍｉｎ———被切齿轮与其共轭齿轮啮合时，必须具 有的有效渐开线最小曲率半径曲线的上方是被切齿轮不产生过渡曲线干涉的区域．２．１．４　插 齿刀齿顶变尖的限制曲线为了保证插齿刀的寿命，其齿顶厚度不能小于许用厚度，因此应满足下式 ：［Ｓａ０］ｍｉｎ≤ｒａ０［（π＋４Ｘ０ｔａｎα）／Ｚ０＋２（ｉｎｖα－ｉｎｖαａ０） ］　　整理后（极限条件下）为：［Ｓａ０］ｍｉｎ＝ｍ［Ｚ０／２＋ｈａ０＊＋（Ｘ０）ｍａｘ ］｛［π＋４（Ｘ０）ｍａｘｔａｎα］／Ｚ０＋２［ｉｎｖα－ｉｎｖ（αａ０）ｍａｘ］｝（ ６）　　其中（αａ０）ｍａｘ＝ａｒｃｃｏｓ｛Ｚ０ｃｏｓα／［Ｚ０＋２（ｈａ０＊＋（Ｘ０ ）ｍａｘ）］｝．式中　［Ｓａ０］ｍｉｎ———新插齿刀许用最小齿顶厚度，且［Ｓａ０］ｍｉ ｎ＝－０．０１０７ｍ２＋０．２６４３ｍ＋０．３３８１；（Ｘ０）ｍａｘ———插齿刀齿顶不 变尖的最大变位系数；（αａ０）ｍａｘ———插齿刀在变位系数为（Ｘ０）ｍａｘ的剖面中的顶 圆压力角；ｈａ０＊———插齿刀齿顶高系数．常规设计时，若精度要求不高，（Ｘ０）ｍａｘ可 根据有关资料的图表查得；非标准参数齿轮插齿刀设计时，需用试算法计算其（Ｘ０）ｍａｘ．将 被切齿轮和插齿刀的原始参数代入式（１）、（２），并用（Ｘ０）ｍａｘ代替式（１）的Ｘ０， 可算出插齿时插齿刀齿顶不变尖的最大啮合中心距（ａ１０）ｍａｘ．在被切齿轮和插齿刀原始参 数给定时，（Ｘ０）ｍａｘ和（ａ１０）ｍａｘ都是定值．因此，其限制曲线也是垂直于ａ１０坐 标轴的直线，且直线的左边是插齿刀齿顶不变尖的区域．２．２　插齿刀齿顶圆半径计算曲线１） 常规设计时，插齿刀齿顶圆半径计算曲线按下式作出．ｒａ０＝ｍ（Ｚ０／２＋ｈ＊ａ０＋Ｘ０） （７）其中Ｘ０＝｛ｉｎｖａｒｃｃｏｓ［ｍ（Ｚ１＋Ｚ０）ｃｏｓα／２ａ１０］＋ｉｎｖα｝ （Ｚ１＋Ｚ０）／２ｔａｎα－Ｘ１２）非标准参数齿轮插齿刀设计时，插齿刀齿顶圆半径计算曲 线按其计算式作出．利用计算器（如ＣＡＳＩＯ－ｆｘ４５００Ｐ）的程序功能，将式（７）或其 他计算式输入计算器，然后在（ａ１０）ｍｉｎ～（ａ１０）ｍａｘ之间，改变ａ１０的值，就能 迅速算出相应的ｒａ０值，从而作出曲线．在此，需要说明的是：由于式（４）、式（５）和式（ ７）的曲线挠度都很小，且（ａ１０）ｍｉｎ～（ａ１０）ｍａｘ的范围一般也较小，所以可以在 （ａ１０）ｍｉｎ～（ａ１０）ｍａｘ之间，用分段等节距直线来拟合实际曲线．式（７）曲线与 式（４）或式（５）曲线交点的坐标值就可由所在两线段的直线方程联立算出．误差很小，可忽略 ．３　设计步骤下面以常规方法设计某专用插齿刀为例，说明上述方法的设计步骤．被切齿轮原始 参数：ｍ＝４，α＝２０°，Ｚ１＝３０，Ｘ１＝０．２，ｈ＊＝１，Ｃ＊＝０．２５，直齿．共 轭齿轮原始参数：Ｚ２＝４５，Ｘ２＝－０．４，其余同被切齿轮．插齿刀原始参数：［Ｓａ０］ ｍｉｎ＝１．２２４１，ｈａ０＊＝１．２５，选齿数Ｚ０＝２５．３．１　计算（ａ１０）ｍｉ ｎ、（ａ１０）ｍａｘ以及式（４）、（５）、（７）在中心距为（ａ１０）ｍｉｎ、（ａ１０） ｍａｘ时的ｒａ０值将被切齿轮１和插齿刀原始参数代入式（１）、（２）和（３）以及根据有关 资料图表，可得：（ａ１０）ｍｉｎ＝１０８．１８８２，（Ｘ０）ｍｉｎ＝－０．６２３０；（ ａ１０）ｍａｘ＝１１１．９０１２，（Ｘ０）ｍａｘ＝０．３０４６．将上述数据代入式（４） 、（５）和（７）中，分别计算其在中心距为（ａ１０）ｍｉｎ、（ａ１０）ｍａｘ时的值（见表 １）．表１ｍｍｒａ０值（ｒａ０）ｍｉｎ（ａ１０）ｍｉｎ＝１０８．１８８２，（Ｘ０）ｍｉ ｎ＝－０．６２３０时（ｒａ０）ｍａｘ（ａ１０）ｍａｘ＝１１１．９０１２，（Ｘ０）ｍａｘ ＝０．３０４６时（ｒａ０）根切５６．８１２６６３．５９９３（ｒａ０）干涉５１．１８５８ ５６．４１８５（ｒａ０）计算５２．５０８１５６．４１８５３．２　分析设计类型，计算变位 系数一般外插齿刀的设计有下列五种类型，如图１所示．（其中式（４）、（５）和（７）的实际 曲线简化为附表数据的两点连线）．１）（ｒａ０）干涉ｍｉｎ≤（ｒａ０）计算ｍｉｎ≤（ｒａ ０）根切ｍｉｎ且（ｒａ０）干涉ｍａｘ≤（ｒａ０）计算ｍａｘ≤（ｒａ０）根切ｍａｘ时［Ｘ ０］ｍｉｎ＝（Ｘ０）ｍｉｎ、［Ｘ０］ｍａｘ＝（Ｘ０）ｍａｘ，如图１（ａ）．２）（ｒａ０ ）计算ｍｉｎ≤（ｒａ０）干涉ｍｉｎ≤（ｒａ０）根切ｍｉｎ且（ｒａ０）计算ｍａｘ≤（ｒａ ０）干涉ｍａｘ≤（ｒａ０）根切ｍａｘ或（ｒａ０）干涉ｍｉｎ≤（ｒａ０）根切ｍｉｎ≤（ｒ ａ０）计算ｍｉｎ且（ｒａ０）干涉ｍａｘ≤（ｒａ０）根切ｍａｘ≤（ｒａ０）计算ｍａｘ时设 计无结果，需改变插齿刀齿数重新设计，如图１（ｂ）．３）（ｒａ０）干涉ｍｉｎ≤（ｒａ０） 根切ｍｉｎ≤（ｒａ０）计算ｍｉｎ且（ｒａ０）计算ｍａｘ≤（ｒａ０）干涉ｍａｘ≤（ｒａ０ ）根切ｍａｘ时［Ｘ０］ｍｉｎ≠（Ｘ０）ｍｉｎ、［Ｘ０］ｍａｘ≠（Ｘ０）ｍａｘ，如图１（ ｃ）．［Ｘ０］ｍｉｎ、［Ｘ０］ｍａｘ需用线⑤与线②、线③的分段直线拟合方程联立算出，计 算方法见５）．４）（ｒａ０）干涉ｍｉｎ≤（ｒａ０）根切ｍｉｎ≤（ｒａ０）计算ｍｉｎ且（ ｒａ０）干涉ｍａｘ≤（ｒａ０）计算ｍａｘ≤（ｒａ０）根切ｍａｘ时［Ｘ０］ｍａｘ＝（Ｘ０ ）ｍａｘ，但［Ｘ０］ｍｉｎ≠（Ｘ０）ｍｉｎ，见图１（ｄ）．［Ｘ０］ｍｉｎ需用线⑤与线② 的分段直线拟合方程联立算出，计算方法见５）．５）（ｒａ０）干涉ｍｉｎ≤（ｒａ０）计算ｍ ｉｎ≤（ｒａ０）根切ｍｉｎ且（ｒａ０）计算ｍａｘ≤（ｒａ０）干涉ｍａｘ≤（ｒａ０）根切 ｍａｘ时［Ｘ０］ｍｉｎ＝（Ｘ０）ｍｉｎ，但［Ｘ０］ｍａｘ≠（Ｘ０）ｍａｘ，见图１（ｅ） ．［Ｘ０］ｍａｘ需用线⑤与线③的分段直线拟合方程联立算出．本例就属这种类型，其［Ｘ０］ ｍｉｎ、［Ｘ０］ｍａｘ计算如下：从图２中可见，线⑤与线①、线③分别相交于Ａ、Ｂ两点．Ａ点处的变位系数是插齿刀许用的最小变位系数，即［Ｘ０］ｍｉｎ＝（Ｘ０）ｍｉｎ＝－０．６２３０．Ｂ点处的变位系数是插齿刀许用的最大变位系数．为计算其值，在（ａ１０）ｍｉｎ和（ａ１０）ｍａｘ之间，等间隔平均取４点，将各点的ａ１０值代入式（５）和式（７）中，分别求得