工序尺寸参数设计的数学模型陈志同杜裴（北京航空航天大学制造工程系）摘要由于工艺过程设计所 涉及到的所有尺寸参数几乎都是耦合着的，因此采用人工的、凭借经验的方法进行工序尺寸参数设 计常常效率甚低．为了提高设计效率及经济效果，建立了一种工序尺寸参数设计的基本数学模型， 并给出了两个基本可行域的结构．该模型的建立不仅可用于实现工序尺寸参数设计的最优化和自动 化，而且可用于证明已有方法的正确性及发现更好的设计方法．关键词工艺；尺寸；公差；优化； 设计分类号ＴＧ８０１在一般的工艺过程设计问题中，一方面，设计者总是以最大和最小极限尺寸 组成的一个闭集直接限定工序尺寸的许可变动范围．但从经济性等方面考虑，制造商有时并不必或 不能要求生产出的零件件件合格，例如，在制造航空航天机械中的精密零件时，往往要投放几件毛 坯才能保证得到一件合格的零件，此时仅靠直接限定工序尺寸的许可变动范围是不够的，还需对其 分布规律中的某些变量的变动范围加以控制才行，这是本文要解决的第一个问题；另一方面，现有 的工艺过程设计方法是基于设计者的经验的［１］，或只是孤立地对单个设计尺寸或工序尺寸按尺 寸链的原理建立其规划设计的数学模型［２］，但实际上所有的工序尺寸、设计尺寸及最小工序余 量尺寸构成了一个藕合着的难以分割的尺寸系统．这些尺寸间的藕合关系构成了对所要设计的参数 的约束．如何合理地表达和利用这种约束关系正是本文将致力解决的另一个问题．本文将通过以上 两个问题的解决建立起工序尺寸参数设计的数学模型．１基本假设，基本定义和基本命题１．１关 于设计变量及其解在零件设计和制造过程中，关于零件的量有两种，一种是设计过程最后所规定的 量，我们可称为设计尺寸参数，其中存在于零件设计图中的称为零件设计尺寸参数，存在于工艺规 程中的称为工序设计尺寸参数，简称工序尺寸参数；另一种是在工艺过程中和工艺过程后所实际得 到的量，我们可称之为实际尺寸参数，其中，工艺过程后所形成并对应于零件设计尺寸参数的称为 零件实际尺寸参数，每个零件最终所获得的尺寸称为零件实际尺寸，而各工序中所形成并对应于工 序设计尺寸参数的称工序实际尺寸参数，每个零件在本工序所获得的尺寸称为工序实际尺寸．在这 里，某种尺寸总是对应单个零件的，而某种尺寸参数则既可能是对应单个零件，又可能是对应一批 零件的．显然，工序设计尺寸参数正是工艺过程设计所给出的用于控制工艺过程的参数．由于这些 参数有多种可能的取值，因此，对其中的每一个参数我们都可以给出一个变量与之对应，这个变量 可称为工序设计尺寸变量，所有的工序设计尺寸变量按一定的顺序组成的向量我们称为设计变量， 记为Ｘ，工序设计尺寸变量的一个选定值称为工艺过程设计的一个解，记为Ｘ．１．２工艺过程 能力假设由于本文的研究目的是构造工序尺寸参数规划问题的数学模型，因而假设零件制造中的与 工序尺寸参数的保证过程无关的过程都是已妥善地规定好的并必然能顺利实现的，即：１）各工序 实际尺寸的分布函数的形式是已知的；２）当各工序的余量足够时，工艺过程总能保证：（１）零 件实体的力学物理性能满足图纸设计要求；（２）零件表面的质量符合图纸设计要求；（３）零件 的形状和尺寸精度符合图纸设计要求．１．３关于合格的定义和命题首先，有必要对单个零件合格 这一概念给出明确的定义．单个零件合格是指零件经过工艺过程以后，能保证：（１）零件实体的 力学物理性能满足图纸设计要求；（２）零件表面的质量符合图纸设计要求；（３）零件的形状和 尺寸精度符合图纸设计要求；（４）零件表面间的位置尺寸和位置关系符合图纸设计要求．其次， 在上述基本假设的前提下，我们得到单个零件合格的充分必要条件：（１）各工序有足够的余量； （２）零件表面间的位置尺寸和位置关系符合图纸设计要求．再次，我们得到一批零件合格的充分 必要条件：如果要求的合格率为Ｐ０，则１００个零件中至少应有１００Ｐ０个零件满足单个零件 合格的充分必要条件．２设计变量的确定按合格率Ｐ０＝１和Ｐ０＜１这两种不同取值，我们可以 把设计变量分成两种不同类型．当Ｐ０＝１时，工序设计尺寸参数应该是工序实际尺寸的许可变动 范围的两个极限值．设某零件在某方向上有ｍ个设计实际尺寸Ｈ１，Ｈ２，…，Ｈｍ，这些尺寸通 过ｎ个工序实际尺寸Ｌ１，Ｌ２，…，Ｌｎ及至多ｍ个毛坯尺寸Ｌｎ＋１，…，Ｌｎ＋ｍ实现．此 时，设计变量Ｘ可表示为Ｘ＝（Ｌｍｉｎ１，Ｌｍａｘ１，…，Ｌｍｉｎｉ，Ｌｍａｘｉ，…，Ｌ ｍｉｎｍ＋ｎ，Ｌｍａｘｍ＋ｎ）当Ｐ０＜１时，按本文１．２小节的假设，工序实际尺寸的分布 函数是已知的，此时对工艺过程的控制实质上是要给定分布函数的特征参数的许可变动范围．分析 几种常见的分布函数，我们发现它们都不多于两个特征参数，而且它们与相应的分布函数的均值μ 和均方差σ之间存在着一一对应的关系．因此，对于这些常见的分布函数，理论上只需控制其均值 和方差的变动范围就可以了．但均值和方差是总体的参数，它们一般是难以或不可能控制的．不过 ，当样本容量足够大时，样本均值和方差与总体的均值和方差是非常接近的．因此，只要样本的容 量足够大，我们总可以以样本的均值和方差代替总体的均值和方差．因此我们得到，若要控制一批 产品的合格率，则只要对每个工序实际尺寸Ｌｉ在一定的样本容量的前提下控制样本均值Ｘｉ的变 动范围［Ｘｍｉｎｉ，Ｘｍａｘｉ］的极限和样本均方差Ｓｉ的变动范围［Ｓｍｉｎｉ，Ｓｍａｘ ｉ］的极限就可以了（ｉ＝１，２，…，ｍ＋ｎ）．此时设计变量Ｘ可表示为Ｘ＝（Ｘｍｉｎ１， Ｘｍａｘ１，Ｓｍｉｎ１，Ｓｍａｘ１，Ｘｍｉｎ２，Ｘｍａｘ２，Ｓｍｉｎ２，Ｓｍａｘ２，… ，Ｘｍｉｎｍ＋ｎ，Ｘｍａｘｍ＋ｎ，Ｓｍｉｎｍ＋ｎ，Ｓｍａｘｍ＋ｎ）３工序尺寸参数设计的 数学模型我们知道，工序尺寸参数设计问题实际上是一个数学规划问题，该问题可描述为Ｆ（Ｘ ）＝ｍｉｎＸ∈ＤＦ（Ｘ）（１）上式中，Ｆ（Ｘ）为给定的目标函数，Ｘ为设计变量，Ｘ为最 优解．Ｄ为约束空间，也称可行域．由前面的分析可知，可行域Ｄ可以表示为Ｄ：Ｐ（零件合格） ≥Ｐ０（２）上式的含义：使零件合格的概率不小于给定的合格率Ｐ０的所有Ｘ的集合就是可行域 Ｄ．一般来说，目标函数的确定不太困难，因此，本文将只对可行域Ｄ的确定予以进一步讨论．４ ２个基本方程及４个基本矩阵按尺寸链的构成方法［１］，我们不难得到零件实际尺寸与工序实际 尺寸的关系：Ｈ１Ｈ２Ｈｍ＝Ａ１Ｌ１Ｌ２Ｌｎ＋Ｂ１Ｌｎ＋１Ｌｎ＋２Ｌｎ＋ｍ（３）设 零件每道工序的实际余量为Ｚ１，Ｚ２，…，Ｚｎ，则得工序实际尺寸和实际余量的关系：Ｚ１Ｚ ２Ｚｎ＝Ａ２Ｌ１Ｌ２Ｌｎ＋Ｂ１Ｌｎ＋１Ｌｎ＋２Ｌｎ＋ｍ（４）以上两式中，Ａ１，Ａ ２，Ｂ１，Ｂ２为系数矩阵，它们由尺寸图表法［１］唯一确定．如果将零件上的表面按一定的顺 序编号，并将Ｌｉ，Ｈｉ及Ｚｉ与这些代号一一对应起来，则由式（３）及（４）可以反过来确定 尺寸图表．对于一维尺寸系统，上述的４个矩阵的元素全部由－１，０，１这３个数构成．５可行 域的确定方法对于式（２），我们可以分Ｐ０＝１和Ｐ０＜１两种情况讨论可行域Ｄ及其子集合的 构造问题．５．１Ｐ０＝１的情形在这种情况下，按单个（或一批）零件合格的充要条件，式（２ ）可以表示为Ｄ：ＰＨ１，Ｈ２，…，Ｈｍ│Ｈｉ∈［Ｈｍｉｎｉ，Ｈｍａｘｉ］ｉ＝１，２，… ，ｍＺ１，Ｚ２，…，Ｚｎ│Ｚｍｉｎｊ≤Ｚｊｊ＝１，２，…，ｎ＝１（５）上式中，Ｈｍｉｎ ｉ和Ｈｍａｘｉ是Ｈｉ的下限和上限，Ｚｍｉｎｊ是Ｚｊ的下限．又设向量Ｃ＝（Ｌ１，Ｌ２，… ，Ｌｎ＋ｍ），则式（５）等价于：Ｄ：Ｈｍｉｎｉ≤Ｈｉ（Ｃ）≤ＨｍａｘｉＺｍｉｎｊ≤Ｚｊ （Ｃ）｛ｉ＝１，２，…，ｍｊ＝１，２，…，ｎ（６）Ｄ不能直接表示成以Ｘ为变量的形式，但 Ｄ的一些子集合能表示成以Ｘ为变量的形式．按照下述方法我们可以构造出Ｄ的一个以Ｘ为变量的 子集合Ｄ′．设Ｈｉ包含ｍｉ个组成环，其中ｍ０ｉ个为增环，记为Ｕｉｋ，ｋ＝１，２，…，ｍ ０ｉ；其余的（ｍｉ－ｍ０ｉ）为减环，记为Ｕｉｋ，ｋ＝ｍ０ｉ＋１，ｍ０ｉ＋２，…，ｍｉ． 又设Ｕｍｉｎｉｋ和Ｕｍａｘｉｋ分别为Ｕｉｋ的许可下限和上限，设Ｚｊ包含ｎｊ个组成环，其 中ｎ０ｊ个为增环，记为Ｖｊｋ，ｋ＝１，２，…，ｎ０ｊ；其余的（ｎｊ－ｎ０ｊ）为减环，记 为Ｖｊｋ，ｋ＝ｎ０ｊ＋１，ｎ０ｊ＋２，…，ｎｊ．又设Ｖｍｉｎｊｋ和Ｖｍａｘｊｋ为Ｖｊｋ 的许可下限和上限，其中Ｕｍｉｎｉｋ，Ｕｍａｘｉｋ，Ｖｍｉｎｊｋ和Ｖｍａｘｊｋ都是工序尺 寸参数，它们最终与Ｌｍｉｎｉ，Ｌｍａｘｉ等工序尺寸参数对应，此时的设计变量仍为Ｘ＝（Ｌ ｍｉｎ１，Ｌｍａｘ１，…，Ｌｍｉｎｎ＋ｍ，Ｌｍａｘｎ＋ｍ）．此处仅因叙述的方便而采用另 一套符号表示．由此可以得到Ｄ的一个子集合Ｄ′：Ｄ′：∑ｍ０ｉｋ＝１Ｕｍａｘｉｋ－∑ｍｉ ｋ＝ｍ０ｉ＋１Ｕｍｉｎｉｋ≤Ｈｍａｘｉｉ＝１，２，…，ｍ∑ｍ０ｉｋ＝１Ｕｍｉｎｉｋ－∑ ｍｉｋ＝ｍ０ｉ＋１Ｕｍａｘｉｋ≤Ｈｍｉｎｉｉ＝１，２，…，ｍ∑ｎ０ｊｋ＝１Ｖｍｉｎｊｋ －∑ｎｊｋ＝ｎ０ｊ＋１Ｖｍａｘｊｋ≥Ｚｍｉｎｊｊ＝１，２，…，ｎ（７）Ｄ′可作为静态工 艺规划中工序尺寸参数设计问题的一个可行域．由于Ｄ′Ｄ，因此尚有某些零件加工出来后满足 式（６）而不满足式（７），这就是漏检的情况．这种问题可以通过终检得以解决．对于动态工艺 规划中工序尺寸参数的设计问题，只需将经过加工获得的实际工序极限尺寸Ｕｍｉｎｉｋ，Ｕｍａ ｘｉｋ，Ｖｍｉｎｉｋ，Ｖｍａｘｉｋ代入式（７）即可得到对于后续工序尺寸进行重新设计的可行域．必须说明的是，如果对式（７）中的参数加上等公差，等精度等等限制，则会使未知数的数目大大减少，同时使设计计算大为简化．但这也会导致最优解的丧失．５．２Ｐ０＜１的情形设每道工序都需进行抽样检验，则最终得到的产品必然是各工序都合格的产品．现在的问题是，如何确
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