金属板弹塑性非圆弧弯曲回弹的计算（北京航空航天大学１０００８３）王晓林，周贤宾摘要本文提 出了计算金属板弹塑性非圆弧弯曲回弹的结构离散方法，建立了计算回弹后零件形状及回弹前模具 形状的解析一数值混合计算模型，实验验证表明此套计算模型的计算精度良好。关键词金属板成形 ，弯曲，回弹１前言金属板弯曲回弹是直接关系弯曲模具形状和零件成形形状的重要问题，通常包 括角度回弹和曲率回弹，对于不同类型的弯曲，这两类问题的重要性有所不同。塑性弯曲的相对弯 曲半径小，角度回弹明显，如Ｖ形和Ｕ形弯曲零件；弹塑性弯曲的相对弯曲半径大，弯曲变形处于 弹塑性交界区，曲率回弹问题将十分突出。经典的弯曲理论作为圆弧零件弯曲回弹的分析基础，已 经比较成熟，但是在实际生产中，大多数弯曲零件的曲率半径是变化的。针对这类非圆弧弯曲零件 回弹的计算方法还有待完善。国外从８０年代以后，对非圆弧弯曲问题采用有限元等数值方法进行 了大量的研究，如带有直边段的塑性弯曲零件的曲率回弹［‘”似及弹塑性弯曲零件三点弯曲的曲 率回弹［‘ｊ，取得了一定的进展。本文主要研究金属板弹塑性非圆弧弯曲零件的曲率回弹，首先 建立包括本构关系、弯曲应力应变和圆弧弯曲回弹的计算方法，然后引入结构离散处理方法，建立 弹塑性非圆弧弯曲回弹的解析一数值混合计算模型，利用该模型可以由模具实际形状得到回弹后零 件形状或根据零件设计形状计算出所需的回弹前模具形状，实现非圆弧弯曲模具的ＣＡＤ。２金属 板弹塑性圆弧弯曲回弹２·１本构关系的选择在弹塑性弯曲过程中，材料处于弹塑性小变形范围， 为此采用分段本构关系：ｔＥＥＢＭｄ。／Ｅ＼Ｋｅ”ｅ＞０。／Ｅ式中Ｅ值通过单向拉伸实验测 定，Ｋ、ｎ值可以由单向拉伸的真实应力应变曲线通过数值拟合得到，拟合范围从弹性极限（或屈 服点）到１％～２％应变点为止，采用这种分段本构关福特·中国研究与发展基金资助项目。系可 以准确描述屈服点附近的应力应变关系，同时有利于采用Ｐｒａｎｔｌｅ—Ｒｅｕｓｓ增量理论计 算弯曲应力。２．２弯曲应力应变分析根据金属板弹塑性圆弧弯曲过程的特点，在理论分析中采用 如下假设：１）平截面假设；２）平面应变假设，即忽略宽向应变；３）忽略厚向应力及剪应力的 影响。金属板弹塑性圆弧弯曲如图１所示，根据假设应变沿厚度方向的分布：。ｘ—一Ｚ／Ｒ一ｔ ／２＜Ｚ＜ｔ／２（２）式中Ｒ——中西曲率半径。沿板厚度方向的弹性应力分布为：［ｅｑ一Ｅ ６。／（１一Ｐ’）【～一ｐＥ。／（１一。勺一Ｐ。ｘ式中Ｅ——杨氏弹性模量产——是泊松比 利用Ｍｉｓｅｓ屈服准则，建立板内弹性极限层的判断条件：。ｘ＜叶／／ｊ７５ｉＣｉ＝：Ｙ（ ４）当变形超出弹性极限以后，采用Ｐｒａｎｔｌｅ—Ｒｅｕｓｓ增量理论计算相应的应力增量， 如下：Ｄｄ吐一去ＭＯ少一协广’）十一二ｄ寸’（ｄ一二Ｚ〕ｉｎ’“Ｅ”一“”一””ｄＨ一 ’”－”２”【、下．、、，刁、．ｄ柏。一亩（４一一叫一）十５六加对（二一子）（５）］” ””Ｅ”””””””“”Ｊ’Ｈ””’”””２”．．ｄ．、ｄｏｆｄｏｆ＋‘一（ｔｒ一Ｍ） ｄｏｔ＋‘１（．一？）ｄｄ＋‘式中Ｈ—ｄ４／ｄ。歹，ｉ—０，１，２……，ｄ４一０当ｉ— ０时：ｄ？一ｏｔｄ？＝ｄ每步应力全量为：［ｃｔ＝ｄＺ＞二一ｒｔ＋＞二【＆．一百？Ｍ５’ ｄｏｔ．一次十ｙ’ｄｄｌ式中＜和一——分别为板内弹性极限层处的应力分量通过以上计算，可 以得到应力沿板厚的分布情况。２．３弯曲回弹计算根据应力沿厚度方向的分布，采用数值积分的 方法，求得弯曲力矩：图１金属板弹塑性圆弧弯曲Ｆｉｇ．ＩＥｌａｓｔｉｃＰｌａｓｔｉｃａｒ ｃｂｅｎｄｉｎｇｆｏｒｓｈｅｅｔｍｅｔａｌ．则弯曲回弹前后曲率的变化为：１／Ｒｆ—ｌ／ Ｒ。—一Ｍ／ＥＩ（９）式中Ｒｆ——回弹后的曲率半径Ｒ。——回弹前的曲率半径由此可得圆弧 弯曲回弹以后的曲率半径并作为非圆弧弯曲计算的基础。３金属板弹塑性非圆弧弯曲回弹的计算模 型传统的圆弧弯曲理论，难以直接用于非圆弧弯曲问题。在最近的一些研究成果中［‘’，主要从 整体出发，考虑由于曲率半径的变化而产生的剪切效应，但是必须知道准确的位移场，因而在实际 计算中的应用比较困难。根据弹塑性非圆弧弯曲的特点，可以引入结构离散的思想，即将弯曲板沿 其中心线划分为若干离散微板元，当微板元足够小时，非圆弧弯曲所造成的剪切效应可以忽略，对 于每个微板元，可以利用上述弹塑性圆弧弯曲理论进行分析，再通过数学手段和几何约束，由离散 微板元回弹后的几何信息拟会得到零件成形形状。在建立计算模型之前，根据实际情况作出如下假 设：１）每个离散微板元满足弹塑性圆弧弯曲理论；２）弯曲过程中，每个微板元及两个离散微板 元之间应变中性层的弧长不变；３）弯曲回弹前后零件形状至少满足二阶导数连续；４）零件上某 一特定点的几何信息（Ｚ，Ｚ，Ｚ’）在弯曲回弹前后保持不变。３．１离散方法设定弯曲过程中 ，零件贴模形状的曲线方程为：Ｘ一ｆ（Ｘ）（１０）曲线离散的过程如图２所示，取Ｘ向的步长 为乙Ｌ，相应的弧长为Ｓ；，每一点处离散微板元的曲率半径如下：由此进行弯曲回弹的计算，得 到每个点处的曲率半径Ｒｊ。利用三次多项式播值计算出零件成形形状，计算公式如下：其中ｉ— ０时，代入初始离散微板元的几何信息。方程中Ｘ；＋；实际上并不是结构离散时的Ｘ。＋；，必 须根据弧长不变的假设，在每一步计算过程中进行修正，同时对Ｘ；＋；处的一阶导数进行收敛计 算，这样就可以计算回弹后零件形状，计算的准确度取决于离散程度。图２曲线的离散方法Ｆｉｇ ．２Ｔｈｅｄｉｓｐｅｒｓｅｄｍｅｔｈｏｄ．３·２弯曲形状计算模型弯曲形状计算模型包括回 弹后零件形状和回弹前模具形状两方面问题，因此计算模型的建立必须分别从这两方面进行考虑。 对于回弹后零件形状，首先根据模具实际形状通过曲线平移计算零件贴模时的中面形状，然后沿中 面将其离散成微板元，通过对弯曲应力应变分析得到沿板厚度方向的应力分布，采用数值积分的方 法计算弯曲力矩，并计算弯曲回弹后的曲率半径，最后通过曲线拟合得到回弹后零件形状。计算回 弹前模具形状的基本思路是初始时由零件设计形状Ｓ；通过曲线平移计算得到初始模具虚拟形状， 利用上述计算模型，由模具虚拟形状（首次计算时为初始模具虚拟形状，再次计算时为通过修正计 算的模具虚拟形状）通过弯曲回弹计算得到回弹后零件虚拟形状Ｓ。；比较Ｓ；和Ｓ。若满足误差 要求，可以认为模具虑拟形状即为所需的回弹前模具形状；如果不满足误差要求，则重复以上步骤 ，直到满足误差要求。计算模型如图３所示，其中图３ａ为回弹后零件形状计算模型，图３ｂ为回 弹前模具形状计算模型。图３计算流程图Ｆｉｇ．３Ｆｌｏｗｄｌａｇｒａｍｏｆｃａｌｃｕｌａ ｔｉｏｎ·４计算结果与实验结果的比较为了验证上述理论计算模型的准确性，采用了如图４所示 的抛物形弯曲模具进行金属板的弯曲回弹实验。所用的材料为ＨＳＯ．ｏ和０８ＡＬ钢板，试件尺 寸为５０ｍｍＸ２５０ｍｍ，表１列出材料部分基本性能参数。表亚材料基本机械性能参数图４弯 曲实验装置图Ｆｉｇ．４ＳｃｈｅｍａｔｉｃｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａＰＰａｒａｔｕＳｆｏ ｒｂｅｎｄｉｎｇ．。ＨＳＯ“表示轧制方向。实验验证的具体步骤如下：１）通过弯曲回弹实验 得到回弹后的零件，测量回弹后零件形状（零件测量形状），然后利用计算软件得到回弹后零件形 状（零件计算形状），根据以上实验结果比较零件计算形状和零件测量形状，计算最大误差。２） 假设零件测量形状为零件设计形状，利用计算软件计算所需的回弹前模具形状（模具设计形状）， 最后比较模具设计形状和模具实际形状，计算最大误差。通过以上步骤，从两方面验证计算模型的 正确性，由于零件的对称性，仅取零件或模具的一半进行验证比较。实验验证的过程中，模具实际 形状和零件设计形状见表２。表２模具实际形状和零件设计形状通过对计算模型的实验验证，分别 给出了ＨＳＯ”及０８ＡＬ钢板实验结果与计算结果的比较，其中图５是回弹后零件计算形状的比 较，图６是回弹前模具形状的比较。图５回弹后零件形状的比较图６回弹前模具形状的比较ａ）Ｈ ＳＯ”；ｂ）０８ＡＬａ）ＨＳＯ”；ｂ）０８ＡＬＦｉｇ．５Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆ ｐａｒｔ’ｓｓｈａｐｅＦｉｇ．６Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｄｉｅ’ｓｓｈａｐｅａｆ ｔｅｒｓｐｒｉｎｇｂａｃｋ．ｂｅｆｏｒｅｓｐｒｉｎｇｂａｃｋ．在验证计算中，Ｚ向的最大 计算误差值及修正计算次数列于表３。通过实验验证，理论计算模型的精度良好，同时进行模具形 状计算时的修正计算效率比较高，达到了利用解析一数值混合计算模型减小计算量的目的。表３计 算谩差５讨论１）弹塑性弯曲金属板弯曲成形过程中，变形程度的不同决定了各种影响因素所起的 作用不同，相应的理论分析也不一样，因此弯曲又分为弹塑性弯曲和塑性弯曲。当弹性区所占比重 大于１０％时，为弹塑性弯曲；两弹性区小于１％时，为塑性弯曲［“。对于弹塑性弯曲，可以忽 略径向应力和剪切应力，不考虑中性层内移和厚度变化。在弯曲分析过程中，当Ｏ。ＲＭ＞０．０ ５（１３）Ｅｔ—”’”“”““”时，即可以认为是弹塑性弯曲，其中Ｒ为曲率半径。２）弯曲 贴模性板条弯曲贴模性是进行弯曲回弹计算的前提，当贴模性差时，弯曲过程中会出现零件与模具 分离的现象，严重时会使成形后零件出现曲率不连续，为了保证零件成形质量及计算精度，零件的 贴模性必须符合［’ｊ：ｏ。ＬＭ＞０．１０（１４）Ｅｔ”其中Ｌ为对称零件的半长。６结论工 ）基于结构离散的思想，建立了金属板弹塑性非圆弧弯曲回弹的解析一数值混合计算模型，使得非圆弧弯曲问题简化为圆弧弯曲问题处理，可用于回弹后零件形状的计算和回弹前模具形状的设计。２）上述计算模型用于两端无约束或约束可忽略的金属板弹塑性非圆弧弯曲回弹的计算，具有良好的准确性及计算效率。参考文献｜｜１永井康友．板曲断变形影响，
塑性加工，１９８３．９，Ｖ
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