一个通用粉末压制方程及其统计分析验证葛荣德（中南工业大学，长沙４１００８３）摘要在分析现 有各种粉末压制方程特征的基础上，提出了一个通用粉末压制微分方程：统计分析结果表明，当ｎ 值在０～４之间时，由该方程导出的一系列粉末压制方程的线性相关系数均大于０．９９。将由ｎ ＝０导出的方程与Ｂａｌｓｈｉｎ方程、Ｈｅｃｋｅｌ方程及川北公夫方程进行了定量比较，表明 该方程不仅具有更高的精度，而且具有更广泛的适用性。主题词粉末压制，方程，统计分析粉末压 制在现代材料科学技术的发展中有着重要作用。自从Ｗａｌｋｅｒ于１９２３年提出第一个粉末压 制方程以来，许多研究者已相继提出了数十个不同类型的粉末压制方程。其中，应用最广的是Ｂａ ｌｓｈｉｎ方程、Ｈｅｃｋｅｌ方程和川北公夫方程。这三个粉末压制方程的表达形式如表１所示 。正如Ｊｏｎｅｓ“’所指出的，Ｂａｌｓｈｉｎ将其方程表１三个最常用的盼末压制方程Ｔ＆ｂ ｂｌＴＩｄｅｆｆｉｏｄｔＷｉｄｅｌｙｕ哑ｄＰＯＷｄｅＹｃｏｆｆｉＰａｃｔｉｏｌｌｅｑｕ ｓｔｉｏｎＳ建立在胡克定律的基础上，因而不具有广泛的适用性。实验结果‘”也证实，Ｚｌｓ ｈｉｎ方程在高的压制压力范围内将产生严重的误差。Ｈｅｃｋｅｌ方程可应用于金属及非金属粉 末的压制，但在较低的压制压力范围内，Ｈｅｃｋｅｌ方程误差较大”’。Ｊ；Ｄ北公夫方程已被 广泛应用于各种类型粉末的压制”’‘’，但有不少研究””’证实，川北公夫方程在低压区也存 在较大的误差。本文在分析现有各种类型粉末压制方程的基础上，提出一个精度高，适用范围广的 通用粉末压制方程，并应用统计分析方法，与上述三个最常用的粉末压制方程的精确性和适用范围 进行了定量比较。葛荣德，１９９２年１０月毕业于中南工业大学，取得工学博士学位，讲师。互 通用粉末任制方程的建立对现有的各种粉末压制方程进行分析和总结发现，大多数粉末压制方程可 归纳为二个微分方程。一个是：式中，Ｄ为压坯相对密度；ｐ为压制压力；Ｋ；、ａ和ｂ均为常数 。对ａ和ｂ取不同的值可分别导出Ｇｕｒｎｈａｍ方程（ａ—ｌ，ｂ—ｌ）、Ｓｍｉｔｈ方程（ａ —０，ｂ。音）、Ｂａｌｓｈｉｎ方程（ａ—２，ｂ—１）、Ｎｕｔｔｉｎｇ方程（ａ—０，ｂ士 １）、Ｎｉｓｈｉｈａｒａ方程（ａ一回，ｂ／１）、Ｊｏｎｅｓ方程（ａ—３，ｂ—１）等。另 一个微分方程为：式中，Ｋ。和Ｃ均为常数。显然，取不同的Ｃ值可导出不同的压制方程。例如： 取ｃ—０可导出Ａｔｈｙ方程、Ｋｏｎｏｐｉｃｋｙ方程、Ｓｈａｐｉｒｏ方程、ＴＯｒｒｅ方程 、Ｖｏｃｅ方程、Ｈｅｃｋｅｌ方程，取Ｃ—１可导出Ｂａｌｌｈａｕｓｅｎ方程等。从由方程（ ｌ）及方程（２）导出的二类粉末压制方程不难看出，第一类压制方程（即由方程（ｌ）导出的粉 末压制方程）通常在高压区出现较大的误差，而第二类压制方程通常在低压区出现较大的误差。从 粉末压制过程的二个极端（Ｐ—０和Ｐ、ｃｏ）情况出发，对第一类压制方程，当Ｐ、０时，有ｔ ｒ、ｃｏ，即当粉末处于松散堆积状态时，只要对其施加一非常微小的压力，就可使压坯密度显著 增加，这与粉末的实际压制情况是吻合的，但当Ｐ—一时，则有Ｄ—一，这显然与实际情况不符。 由此必然导致第一类压制方程在高压区出现较大的误差。对第二类压制方程，当Ｐ、ｃｏ时有Ｄ— ｌ，这与粉末的实际压制情况是一致的，但当ｐ—０时有主～Ｋ。（ｌ—Ｄ。）ＤＳ，即便当Ｄ。 一Ｏ时，７也为一有限值，这显然与实际情况ｏｐ””—一一”’——－””－一不符，这也必然 导致第二类压制方程在低压区出现较大的误差。为了克服第一类压制方程和第二类压制方程的不足 ，可将这二类方程用如下的通用方程综合表示：式中，Ｋ、ｍ和ｎ均为常数。如表２所示，当取不 同的ｎ值时，由方程（３）可导出一系列粉末压制方程，且这些方程均能满足了卜。—一以及ＤＩ ＿＿一１这两个条件。表２由方程（３）导出的粉末压制方程Ｔａｂｌｅ２ＴｈｅＰＯｗｄｅｒｃ ｏｍｐｅＣｔｔ’，Ｉ’ｅｑｕａｄｏ问回ｌ出你出ｂ——山．（３）２方程的统计分析与讨论根 据表２，只要将ＩＯｇ［密度函数〕对ＩＯｇｐ作图，所有方程均表现出直线关系。因此，对由不 同ｎ值导出的压制方程，可用线性回归方法来检验其精确性和适用性。表３示出了国内外公开发表 的１０组粉末等静压或模压数据。对表２中的压制方程（ｎ—０～４）分别用表３中的每一组数据 进行线性回归分析，结果如表４所示。由表４可见，当ｎ值在０～４范围内，由方程（３）导出的 压制方程，其线性相关系数均大于０．９９，说明ｎ值的变化（在０～４范围内）对大程（３）的 精确什影响不大。为简单起见，在方程（３）的实际应用过程中不妨取ｎ—０，由此可将方程（３ ）简化成：一ｌ——－Ｂａｌｓｈｉｎ——一台对“。””，。。ｅｃ。ｅ。。。。。Ｉｎ（广七 卜。表３各种粉末的压制实验我据了邑巴且ｅ３【互Ｄ由贸ｈｏｅ回ｕＩ血ｏＯＮｔ回ｅＣ（３Ｉ ｌＤ色ｃｏｏｎＭＶ回１ｏｕ田ＯＯｗｄｅｎ注：Ｐ为压制压力；Ｄ为压坯相对密度。亲４由不同 ｎｔ导出的粉末压制方程的线性相关系数Ｔａｂｌｅ４ＴｈｅｌｉｎｅａｒＣＯｒｒｅｌａｔｉｏ ｎｃｏｅｌｌｌｃｌｃｈｔＳｃａｌｃｃｈｔｅｄｔｒｏｍｄｏｆｅｒｅｎｔｖａｌｕｅｓｏｆｎ 作＠ｏ＆用），Ｉ北公夫方程中的Ｍ对｝作Ｉｒ。”。”“””“””“”“－”“ＤＤ”“Ｄ图 ，均可得到直线关系。因此，用线性回归方法可以对方程（４）及表１中的三个最常用方程的精确 性及适用范围进行定量比较。计算结果示于表５。由表５可见，对Ｐｈ和Ｓｎ这二种较软的金属粉 末，ｂｅｌｓｈｉｎ方程的误差较大。Ｈｅｃｋｅｌ方程对中等硬度及较硬的金属粉末应用效果较 好，但对较软的Ｐｈ粉和Ｓｎ粉以及较硬的ＷＣ粉和ＴＩＣ粉，误差较大。川北公夫方程对大多数 金属粉末具有较高的精度，但对陶瓷粉末，误差较大。而方程（４）无论应用于软金属粉末和硬金 属粉末，还是应用于陶瓷粉末，均保持很高的精度，明显优于上怵三个最常用的粉末压制方程。衰 ５粉末压制方程的线性回归分析结果Ｔ回ｂｌｅ５〔力ｂＵＩ羹ｔｅｄｎ田ｕｌｂＯｆｌｉｎｅ巴 ｒｒｑ叹ｕ回ｉｏｎ巴ｎｄ蜘ｉｓＯｎｃｏｆｆｉｐｅＣｔｉｏｎｅｑｕ且ｄＯｎ因在实际粉末压 制过程中，尤其在等静压情况下，粉末的初始堆积密度Ｄ。值通常难以准确测量，这将使方程（４ ）的应用受到一定的限制。如果定义一个力Ｐ。作为粉末的内聚力‘’‘，则当ｐ。一０时，应有 Ｄ。一０。由此，可将方程（４）改写成如下形式：假定Ｐ。ＡｆＰ，则上式可近似为：用表２中 的每一组粉末压制实验数据对方程（６）进行线性回归分析，结果如表６所示。由表６可见，对表 ２中的所有粉末，方程（６）的线性相关系数仍非常接近于１（０．９９～０．９９９甚至更高） 。当参数Ａ和Ｂ确定后，根据方程（５）可近似地估计出Ｐ。值。如表６所示，在大多数情况下， Ｐ。ｎｇＰ的假设是成立的。由此可见，在不知道粉末初始堆积密度的情况下，用表６方程（６） 的线性回归分析结果Ｔａｂｌｅ６ＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓＯｆｌｉｎｅａｒｒｏｐｅｓｓｉｏｎａ ｎａｌｐｏｉｓＯｆＥｑ．方程（６）来计算粉末的密度一压力关系仍具有非常高的精确性和广泛 的适用性。但比较方程（４）和方程（６）的Ａ和Ｂ值可以发现，Ｄ。值的大小对参数Ａ和Ｂ值有 较大的影响。因此，在应用方程（４）或方程（６）时，都应尽可能保证粉末在压制前有相同的初 始堆积密度。３结论（ｌ）在分析现有各种粉末压制方程特征的基础上，提出了由方程（３）所表 示的通用粉末压制微分方程。采用线性回归分析方法证明，当方程中的参数ｎ在０～４范围内时， 由该方程导出的一系列粉末压制方程的线性相关系数均非常接近于１（＞０．９９）。（２）将由 ｎ—０导出的方程与目前最常用的Ｂａｌｓｈｉｎ方程、Ｈｅｃｋｅｌ方程以及）；Ｉ北公夫方程 进行了定量比较，结果证明，本文提出的粉末压制方程不仅具有更高的精度，而且具有更广泛的适 用性。（３）计算结果证明，由ｎ—０导出的方程（４）可进一步简化成方程（６），且简化后的 方程的线性相关系数仍非常接近于１（０．９９～０．９９９甚至更高），从而使方程（４）的应 用更加方便。４参考文献｜｜１ＪｏｎｅｓＤＷ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｐｔｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆｐｏｗｄｅｒｍｅｔａｌｌｕｒｇｙ．Ｌｏｎｄｏｎ：ＥｄｗａｒｄＡｒｎｏｌｄＬｔｄ，１ ９６０．２６０～２９０．２ＨｅｃｋｅｌＲＷ．Ｄｅｎｓｉｔｙ－ｐｒｅｓｓｕｒｅｒｅｌａｔ ｉｏｎｓｈｉｐｓｉｎｐｏｗｄｅｒｃｏｍｐａｃｔｉｏｎ．ＴｈａｎｓＭｅｔＳｏｃＡＩＭＥ， １９６１，２２１：６７１～６７５．３ＫａｗａｋｉｔａＫ，ＬｕｄｄｅＫ－Ｈ．Ｓｏｍｅｃｏ ｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓｏｎｐｏｗｄｅｒｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ．ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｐ ｏｗｄｅｒＴｅｃｈｎｏｌ，１９７０／１９７１，４（２）：６１～６８．４Ｂｒａｃｋｐｏｏ ｌＪＬ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｍａｔｅｒｉａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｎｔｈｅ ｃｏｍｐａｃｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｍｅｔａｌｐｏｗｄｅｒｓ．ＭｏｄｅｎＤｅｖｅｌ ｏｐｍｅｎｔｓｉｎＰｏｗｄｅｒＭｅｔａｌｌｕｒｇｙ，ｖｏｌ５．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｐｌｅｎ ｕｍＰｒｅｓｓ，１９７１．４２３～４３５．５ＳｈｉｎｂｅｒｇＨ．Ｆｒｉｃｔｉｏｎｉｎｄ ｅｘａｎｄｐｒｅｓｓｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｅｓｏｆｓｐｈｅｒｉｃａｌｓｔａｉ ｎｌｅｓｓ－ｓｔｅｅｌｐｏｗｄｅｒａｎｄｏｘｉｄｅｄｃｏｐｐｅｒｐｏｗｄｅｒ．Ｐｏｗｄ ｅｒＭｅｔａｌｌ，１９６９，１２（４）：２６９～２８２．６ＣｙｔｅｒｍａｎｎＲ，ＧｅｖａＲ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｎｅｗｍｏｄｅｌｆｏｒｃｏｍｐａｃｔｉｏｎｏｆｐｏｗｄｅｒｓ．ＰｏｗｄｅｒＭｅｔａｌｌ，１９８７，３０（４）：２５６～２６０．７黄培云．粉末冶金原理．北京：冶金工业出版社，１９８２．１７２～１８９．８ＹａｒｎｔｏｎＤ，Ｄａｖｉ
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