满足最小条件的复杂曲面轮廓度误差评定理论及其评定软件宋震，杨清好（华中理工大学，武汉４３ ００７４）摘要本文按照复杂曲面轮廓度误差评定的基本原则最小条件的要求，在小偏差和小误差 条件下，建立了曲面轮廓度误差的数学模型，探讨了相应的计算机求解方法，并利用编制的软件评 定了椭球的轮廓度误差。关键词轮廓度，
复杂曲面，
最小条件，
评定理论，评定软件最小条件是评 定复杂曲面轮廓度误差的基本原则，所谓最小条件是指被测实际要素对其理想要素的最大变动量最 小。为了既满足最小条件和评定精度要求，使计算手续简化，可以根据实际情况提出两点假设［１ ］：（１）“小偏差假设”，测量基准靠近评定基准时位置，其偏差与轮廓面名义尺寸相比是微量 ；（２）“小误差假设”，实际轮廓和尺寸接近理论轮廓和尺寸，其偏差与轮廓名义尺寸相比是微 量。根据最小条件和两个假设，我们可以提出曲面轮廓度误差数学模型。一、曲面轮廓度误差数学 模型空间理想曲面可以表示为ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０，我们定义影响函数λ（ｐ）为：由测量仪器 测得实际曲面各点坐标ｐｉ＝（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ），其中ｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）为测点数。 在小误差和小偏差假设条件下，实测点ｐｉ均在理想曲面Ｓ的附近，可得ｐｉ到Ｓ的距离ｄ（ｐｉ ）∶由于测量时的基准要素与理想要素必然有偏差，在评定时应按该微量调整。在一般情况下，微 量调整包括三个方向微量移动ｄｘ、ｄｙ、ｄｚ和三个方向微量转动令ｕ＝（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ， θｘ，称为描述变量，它描述位置和姿态（方向）。微量调整后实测点的坐标ｐｉ＝（ｘｉ，ｙｉ ，ｚｉ）可以利用微分变换公式［１］得到：ｐｉ到理想面Ｓ的距离ｄ（ｐｉ）和描述变量ｕ有关 ，因此记为ｄ（ｐｉ）＝ｄ（ｐｉ；ｕ），由式（２）可知；通常复杂曲面只给出离散的型值点， 一般采用几何造型方法生成整张曲面。根据几何造型手段，同时由式（１）可以求出式（４）的λ （ｐｉ），由式（３）可以求出式（４）的ｄ（ｐｉ）。二、曲面轮廓度误差的评定方法令Ｆ＝ｍ ａｘ（１，２，…ｎ）｝可提出轮廓度误差评定的线性规划问题问题ＬＰ可以应用线性规划理论及 单纯形解法求解。当实现了单纯形解法的最优基本可行解条件时，松弛变量等于零的测点称为特征 高点，剩余变量等于零的测点称为特征低点。文献［２］．指出，问题ＬＰ实现最优基本可行解条 件时，特征高点凸体与特征低点凸体有且仅有一个交点。目前已明确的直线度、圆度、平面度误差 的判别准则，均是上述准则的具体表达。可见，复杂曲面轮廓度误差评定的线性规划问题ＬＰ单纯 形解法实现了最小条件，从而符合最小条件要求。三、曲面轮廓度误差计算机求解方法单纯形算法 给线性规划问题提供了一个普遍适用的优化算法，任何一个线性规划问题都可以用单纯形算法进行 求解。采用通用的单纯形算法求解复杂曲面轮廓度误差评定的线性规划问题ＬＰ时，通常有如下几 个问题：１．单纯形算法在选取初始基Ｂ时，需要引人人工变量构造线性规划问题ＬＰ１，首先求 解问题ＬＰ１。在实际计算中发现，求解问题ＬＰ１所需要的迭代次数远远多于求解问题ＬＰ所需 要的迭代次数；２．曲面轮廓度误差评定的线性规划问题ＬＰ的求解规模，随着测点的增加而急剧 增加，导致单纯形算法所需计算机内存和运算时间急剧增加，以至该线性规划题不能在微机上求解 。问题１说明，如果我们能迅速地判断问题ＬＰ初始基Ｂ，就不需要求解问题ＬＰ１，从而大大减 少迭代次数。经分析可加，如果今０，同时相应的测量点作为特征点。则问题ＬＰ中松弛变量、剩 余变量均大于或等于零，由此可以迅速找到初始基。在评定曲面轮廓度误差时，测点数是根据实际 需要确定的。因此问题２只有根据曲面轮廓度误差线性规划问题ＬＰ的数值特点，采用适当的数据 压缩存储技术和数值计算方法实现微机上求解ＬＰ数值试验证明，虽然算法复杂性增加，但是由于 极大地减少了乘法运算次数，实际运算时间缩短了许多。采用上述技术解决问题１和问题２之后， 轮廓度误差评定单纯形算法在微机上求解成为可能。例如，我们评定了三截面１０８测点的圆柱度 误差，采用通用的单纯形算法，仅基矩阵就需３７０ｋ内存存储，求解迭代次数超过１００次。根 据轮廓度误差评定的线性规划问题特点改进单纯形算法后，同一组圆柱度误差评定数据，基矩阵存 储只需１１ｋ内存；求解迭代次数仅为原来的１／１０，同时每次迭代时间仅需原来的１／７。由 此可见，采用改进后的单纯形算法取得了显著的时间和空间效益。四、评定轮廓度误差实例椭球各 点的法矢、曲率各不相同，采用椭球验证曲面轮廓度误差评定理论及其评定软件的正确性具有较典 型的意义。我们可以根据设定值生成一组椭球轮廓度误差测量数据，然后使用评定软件处理该组数 据，对照评定结果和设定值，就可以验证曲面轮廓度误差评定理论及其评定软件的正确性，生成测 量数据方法如下：１．设定椭球方程及轮廓度误差值；２．设定测量截面及测量角度；３．在设定 的轮廓度误差范围内，随机生成测点法向误差值；４．根据测点法向误差值及其所在的截面和测量 角度．计算出测点坐标；５．设定测量基准与评定基准的偏差值，根据偏差值对测点坐标进行坐标 变换；根据以上方法生成的测点坐标代入式（２）计算ｄ（ｐｉ），数据如下：椭球ｘ、ｙ、ｚ半 轴长度为２５０ｍｍ，２００ｍｍ，１５０ｍｍ。测量数据经编制的评定软件计算后得表２。从上 表可见，软件评定结果与设定值具有良好的一致性，这说明根据小偏差假设和小误差假设建立的曲 面轮廓度误差数学模型能满足评定精度要求。在ＡＴ机上用编制的软件评定表１的测量数据，运行 时间仅２分１０秒，完全能够满足实际测量要求。参考文献｜｜［１］熊有伦．精密测量的数学方 法．中国计量出版社，１９８９［２］刘健、安立邦、钱名海、吴宏基．形位误差包容评定的理论 与实践──线性鞍点规划方法的应用．计算学报，１９９２（１）：２４满足最小条件的复杂曲面 轮廓度误差评定理论及其评定软件@宋震，杨清好$华中理工大学轮廓度，复杂曲面，最小条件， 评定理论，评定软件本文按照复杂曲面轮廓度误差评定的基本原则最小条件的要求，在小偏差和小 误差条件下，建立了曲面轮廓度误差的数学模型，探讨了相应的计算机求解方法，并利用编制的软 件评定了椭球的轮廓度误差。［１］熊有伦．精密测量的数学方法．中国计量出版社，１９８９［ ２］刘健、安立邦、钱名海、吴宏基．形位误差包容评定的理论与实践──线性鞍点规划方法的应 用．计算学报，１９９２（１）：２４；４．根据测点法向误差值及其所在的截面和测量角度．计 算出测点坐标；５．设定测量基准与评定基准的偏差值，根据偏差值对测点坐标进行坐标变换；根 据以上方法生成的测点坐标代入式（２）计算ｄ（ｐｉ），数据如下：椭球ｘ、ｙ、ｚ半轴长度为 ２５０ｍｍ，２００ｍｍ，１５０ｍｍ。测量数据经编制的评定软件计算后得表２。从上表可见， 软件评定结果与设定值具有良好的一致性，这说明根据小偏差假设和小误差假设建立的曲面轮廓度 误差数学模型能满足评定精度要求。在ＡＴ机上用编制的软件评定表１的测量数据，运行时间仅２ 分１０秒，完全能够满足实际测量要求。参考文献｜｜［１］熊有伦．精密测量的数学方法．中国 计量出版社，１９８９［２］刘健、安立邦、钱名海、吴宏基．形位误差包容评定的理论与实践─ ─线性鞍点规划方法的应用．计算学报，１９９２（１）：２４满足最小条件的复杂曲面轮廓度误 差评定理论及其评定软件@宋震，杨清好$华中理工大学轮廓度，复杂曲面，最小条件，评定理论 ，评定软件本文按照复杂曲面轮廓度误差评定的基本原则最小条件的要求，在小偏差和小误差条件 下，建立了曲面轮廓度误差的数学模型，探讨了相应的计算机求解方法，并利用编制的软件评定了椭球的轮廓度误差。［１］熊有伦．精密测量的数学方法．中国计量出版社，１９８９［２］刘健、安立邦、钱名海、吴宏基．形位误差包容评定的理论与实践──线性鞍点规划方法的应用．计算学报，１９９２（１）：２４