多辊轧机轧辊热变形模型研究彭惠红，陈子辰（上海有色金属研究所，上海２０１６００）（浙江大 学，杭州３１００２７）摘要本文根据多辊带材轧机轧辊在轧制过程中的特点，应用热弹性力学理 论和圆柱体热传导微分方程，分别导出了计算轧辊热变形的模型１和模型２。文中还通过一个实例 介绍了应用情况。关键词多辊轧机；轧辊；热变形１问题的提出多辊带材轧机由于工作辊径小、系 统刚度大等原因，已愈来愈受到金属加工界的应用。但多辊轧机在轧制过程中轧件塑性变形产生的 热和辊间相对滑动产生的热受辊系结构紧凑等影响较难排尽，从而使轧辊产生热变形。当轧机经过 一定的时间运行后，在轧辊的内部形成稳定的温度场，其表现在辊身表面各点和辊径上各点的温度 不一致。由于温度的不均匀性，导致了轧辊的热膨胀不均匀，从而影响了产品的轧制精度。为了消 除热变形的影响，人们通常采用．Ｉ艺冷却和调整辊型等手段予以补偿。显然，研究轧辊热变形规 律可以为控制热变形提供依据，最终可以提高产品的轧制精度。２轧辊径向热膨胀模型２．ｌｇｇ ｉｌ由于多辊轧机轧辊的长径比较大，故把轧辊视为＂无限长＂的圆柱体，其位移与轴线方向的坐 标无关，且温度相对于辊轴的中央截面对称分布，故满足Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ理论假民，于是Ｑ Ｕ。０－Ｕ。＾－～＋ＭＦ．．．．ＭＷ＝＝０（１）根据热弹性力学理论知道应力与应变的关系 为：巳。Ｍ．ｌａ、一ｖ（ａｍ＋ａｅ）ｌ＋ｂ．１。ｅ。二二三ｌａ～－ｖ（ａ，＋ａ－）Ｉ＋ ｂ．１卜（１）巳。．ＭＩａ，一ｖ（ａ．＋ｏ。）ｌ十比１＂式中。ｒ、。。和民分别为径向、 周向和轴向的线应变，ｐｔ为热膨胀系数，Ｅ和Ｖ分别为材料的弹性模量和油松比。。。，ｄＵＵ 。。，、。，ｌ－－。，ｍ。。。、、由于。，一生兰，。。。兰（应变与位移关系）－＂－＂ｄ ｒ＂－＂ｒ＂＂＂－＂一－。－。、·及Ｂ。ｏ，则式（２）可求解得出：解上式得：ｔ，１十Ｖ ｂ．０＿．＿、＿。＿＿＿．ｃ。一、ＩＪ＝ＭＭＬＬＬ［１（ｆ）ｆｄｆ＋Ｃ，ｆ＋ＺＥ－（５ ）１一ＶＩＪＯ且由位移边界条件：ＵＩｒ。。。０知：欲使式（５）成立，须使Ｃ。。０；而Ｃ ；可由边界条件求得。对于轧辊表面上的热膨胀，进一步的简化式为：ＵＩ．＝。。２（１＋Ｖ） 生【＊（ｒ广ｄｒ（６）－ｌ。－。、＂ＲＪ。＂＂－一显然，式（６）取决于温度分布函数Ｔ（ ｒ）。当Ｔ（ｒ）为常量时。Ｕ＝＊贝１十Ｖ）民（７）当Ｔ（ｒ）为线性函数时，Ｕ一一二二Ｋ （１＋Ｃ）０．（ＺｒｔＤ十ａＣ）（ａ）当Ｔ（ｒ）为Ｍ次曲线时，。ｎ，。、。，ａＲ＇ｂＲ ．ｏｆＵ＝２＊（１十Ｖ）巳！上ｙ上一十三上二十；Ｉ（９）上列各式中，ａ、ｂ、ｃ均为待定 常数。２．２模型２轧辊半径为ｂ，初始温度为Ｔ。，当时间ｔ＞０时，ｒ。ｂ处的边界上的温度 为ｆ＇（ｔ），求轧辊横截面上的温度场Ｔ＇（ｒ，ｔ）及径向热膨胀。现令＊（ｒ，ｔ）＝Ｔ＇ （ｒ，ｔ）一Ｔ。则边界条件为：Ｔ。。０，ｒ＝ｂ处的边界面温度为ｆ（ｔ）。即此问题的热传 导微分方程为５２Ｔ．１６ＴＩ６Ｔ一一＜＞十二二回二二二一Ｃ二一．二一一（互０）ｏｒ＇ｒ ａｒＫ。ｏｔ＂＂＂＂对式（１０）进行Ｌ０１ａｃｅ变换，得：ｄ＇Ｔ．ｌｄＴＳ＝：。４Ｍ＋ ＭＣ＝－－ＭＴ＝０（１１）ｄｆ。ｆｄｆＫ。＂Ｔ（ｂ，Ｓ）＝Ｆ（８），Ｔ＝Ｔ（ｒ，ｓ）＝ Ｌ［Ｔ（ｒ，ｔ）ｊ（１２）取。＇＝ｆ－，则式（１１）是以下Ｂｅｓｓｅｌ微－＂一Ｋ＇＂＂ －－＂＂＂＂＂＂＇－－＂一＂＇＂分方程的特殊形式：ｄ＇Ｔ．ｌｄＴｊ。５＂二一子十｝上干 ＞一叩＂十＞ｎ＝０（１３）血＇＂ｆ血＼－＂ｆＺＩ＂＂＂＂＂·Ｂｅｓｓｅｌ微分方程的解以 １６（。ｒ）表示，称＿为第一类ｐ阶修正的Ｂｅｓｓｅｌ函数：Ｔ．＿．６ｒ－１矿ｔｏｌ屯－ 一＇Ｍｎ！２（ｂ＋ｎ＋１）ｘ２，（１４）Ｂｅｓｓｅｌ微分方程的解以Ｋ６（。ｒ）表示，称 为第二类６阶修正的Ｂｅｓｓｅｌ函数：Ｔｐｅ．＿、，·１＿且、ＩＯＤ）一且Ｒ【ＱＤ）ｒｔ ｎ（Ｑ）＝１１ｉｎＭＬｒｔ－－－－－－－－．－－－：～Ｉ，～Ｂ－整数ｚｎｌｌｌｐ冗（１ ５）根据以上所述，ｐ为整数时，式（１３）通解为：Ｔ＝Ａ山（ｔｏｒ）十ＢｐＫＳ（ｏｒ）（ １６）本问题中Ｔ（ｒ，幻一Ａ。１。（。ｒ）＋Ｂ。Ｋ。（。ｒ）（１７）由于ｒ－０时，Ｋ。 （。ｒ）、ｃｏ，而实际轧辊中心温度为有限值，所以Ｂ。＝０，于是式（１７）简化为：Ｔ（， ８）＝Ａ。Ｉ。（ｏｆ（１８）由边界条件：Ｔ（ｂ，ｔ）。ｆ（ｔ）代人上式得：Ｔ（．８）＝ ｌＡ。Ｉ。（ｏｆ＝Ｆ（９）：；＝－－－．－－－－－（ｉｇ＂＇＂＂＂＂＂＂＂＂＂＂＂＂Ｉ （ｔｏ）＂＂＂＂以ｙｒ，ｓ）表示：ｇ（ｒ，ｓ）一半生Ｘ，则上式为：＂＇＂＂＂＂＂＂＂＂ ＇＂＂＂＂＇＂＂Ｉ（ｏｈ）＂＂＂＂＂＂＂＇Ｔ（Ｓ，８）＝＝Ｙ（ｓ）．ｇ（Ｓ，８）（２０ ）应用逆变换公式，ｇ（ｒ，ｓ）的原函数为：。、Ｉｆ＇－＇：１＂．＇＼ＶＫ。Ｉｇ（，ｔ） ＝ＭＭＩ＇ｅ＂＇－－Ｍ＝＝＝－－－－ｂ冗且Ｊ羹。１．一ＩＯＯ可／．Ｊ８兄＂＂＂＂＂＇＂ Ｉｎｌｂ．ＩＭ】＂八一ＶＫ』尸·ｄｓ（２１）令Ｓ＝＝－ＫｄＳ＇，则上式分母记为：ｌ。ｆ ｏ二ＩＭ）＝＝Ｉｎ（ｌａｂ）＝Ｊｎ（ａｈ）（２２）＂ｔ－ｖ。Ｋ。歹显然，当人（ａｈ）。 Ｄ时，被积函数出现极点。又由于所以应用卷积定理，得问题的解：当ｔ－ｃｏ时。根据Ｂｅｓｓ ｅｌ级数定理，式（２５）还可写为：，－。、ＺＣｎｂ。Ｔ（ｒ．ｔ）＝ｆｙｑ－·Ｈ＝Ｃｎ（ ２６）ｂＺ式（２６）的物理含义即为：当ｔ、ｃｏ时，轧辊横截面趋于均匀温度。于是轧辊径向 热膨胀为：式（ｚｒ）中：ａｓ为热膨胀系数，为使统一起贝改用ｐｔｆｏ为辊径，即为Ｒ；ｑ为 辊面温升，用ＡＴ表示，于是式（２７）改为：Ｕ＝６ｔ·凸ＴＲ（２８：由于式（２５）计算复 杂，可近似采用武（２８）进行计算。此时，时间趋向于无穷大，理解为进入稳定温度即可。３轧 辊轴向热凸度模型直接进行轧辊热凸度计算难度很大，特别是在三维状态下显得更为困难。本文采 用的简化方法是利用轧辊稳态温度场下各截面上的温升代入式（７）、或式（８）、或式（９）、 或式（２８）进行计算该截面的热膨胀量，然后光滑连接即可获得热凸度分布曲线。温度场可用有 限元方法计算求得［＇Ｊ。４计算实例某三十辊轧机民一１２Ｘ１０－＇，ｖ＝０·３，辊往参数 见下表。在对轧制过程中产生的温差进行热膨胀和热凸度计算发现，即使是轧制精密极薄带（厚度 ０．００１毫米带材），轧机辊系本身的热变形也是很大的。麦１为原始参数和计算结果。表１轧 辊原始多边和热变计算值整个辊系变形为：６＝２（ｙ。一ｙｉ），式中ｙ。为工作辊心原始座标 ，ｙｌ为轧辊系热膨胀以后的工作辊心座标。Ｄ，，十Ｄ、，＂哗，＇－。ＤＯＩ＋Ｄ。。ｙ。Ｍ ＂Ｊ－－Ｍ＂＇－Ｃ（）ｏｉｌ＋Ｍｆ＇－Ｍ－－Ｍ＂＂ｕ。、＋ｉｒ。。·ｃｏｓ（０。ｔ一ｏ １１）十一９＂－－－＂ｃｏ８地Ｓｕ，、＋ｕ。、．、。。、＋ＭＨ～～ＥＬＣＯＳ（。０一一 Ｑ。。）（２９式中几何角度在热变形前后变化不大，故认为是定值。按式（２９）和表１数据计 算得到：采用式（７）时，辊系热变形为６。１７．８５ｐｍ；采用式（２８）时，输系热变形为 ６＝１４．９６ｐｍ。在现场对轧机进行热位移测试时，发现机架总热变形为１６．４ｐｍ，且伴 随着压力表Ｓ读数增大（即轧制力增大），带材表面质量变差。这说明辊系热变形增大趋势大于机 架热变形。当加大冷却液流量，使系统达到新的稳态时，工作辊的温度有所下降，压力变化较小， 带材表面质量变好。５结论（１）本文讨论的热膨胀模型，假设合理，其计算结果与实测值较接近 。（２）模型１推导简便，结论更为实用，特别是对截面内不同温度分布曲线的求解较模型２方便 些。（３）模型１和模型２的结论对辊系设计具有指导意义。参考文献｜｜１彭惠红．多辊轧机轧 辊稳态温度场及热凸度研究．上海金属（有色分册），１９９１，１２（５）；７～１２２陈兆年 、陈子辰．机床热态特性学基础．北京：机械工业出版社，１９８９．ＳｔｕｄｙｏｎｔｈｅＭｏ ｄｅｌｏｆＨｏｔＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＲｏｌｌｅｒｓｉｎＭｕｌｔｉｒｏｌｌｅｒＭｉ ｌｌｓ￥ＰｅｎｇＨｕｉｈｏｎｇ（ＳｈａｎｇｈａｉＮｏｎｆｅｒｒｏｕｓＭｅｔａｌｓＲｅｓ ｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０１６００）ＣｈｅｎＺｉｃｈｅｎ（Ｚｈ ｅｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００２７）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｎ ｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｒｏｌｌｅｒｓｏｆｍ ｕｌｔｉｒｏｌｌｅｒｍｉｌｌｓｉｎｔｈｅｒｏｌｌｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ，ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅｈｏｔｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕ ａｔｉｏｎｏｆｈｅａｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｎｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌｂｏｄｙ， ｔｈｅＭｏｄｅｌ１ａｎｄＭｏｄｅｌ２ｆｏｒｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｈａｔｄｅｆｏｒ ｍａｔｉｏｎｏｆｒｏｌｌｅｒｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ａｎｅｘａ ｍｐｌｅｉｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｏｓｈｏｗｈｏｗｔｈｅｓｅｍ ｏｄｅｌｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍｕｌｔｉ－ｒｏｌｌｅｒｍｉｌｌ，Ｒ ｏｌｌｅｒ，Ｈｏｔｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ多辊轧机轧辊热变形模型研究@彭惠红，陈子辰$上 海有色金属研究所，浙江大学多辊轧机；轧辊；热变形本文根据多辊带材轧机轧辊在轧制过程中的 特点，应用热弹性力学理论和圆柱体热传导微分方程，分别导出了计算轧辊热变形的模型１和模型２。文中还通过一个实例介绍了应用情况。１彭惠红．多辊轧机轧辊稳态温度场及热凸度研究．上海金属（有色分册），１９９１，１２（５）；７～１２２陈兆年、陈子辰．机床热态特性学基础．北京：机械工业出版社，１９８９．Ｊ羹。１．一ＩＯＯ可／．Ｊ８兄＂＂＂＂＂＇＂Ｉｎｌｂ
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