微波断层成像是近年来引起广泛关注的一种无损检测技术.对此人们已经提出了许多重建算法,有频 域重建算法中的Born和Rytov近似算法,空域成像算法中的Born迭代算法(BIM) <1>和变形Born迭代算法(DBIM)<2,3>等,但这几种算法成像的目标只能是一些 弱散射体,对金属散射体就不再适用了.本文所提出算法的基本思想是从体等效原理出发,得到矩 阵方程形式的反演方程.正问题中利用有限元(FEM)方法并参考局部形状函数法(LSF)的 思想,利用极化横磁波(TM)照射被测物体,得到正问题的解.有限元方法可以很容易地模拟不 规则形状的结构和处理数量不受限制的各种类型的边界条件,在模型表面加上完全匹配层(PML )<4>来模拟电磁场的开域条件,减少计算量.而局部形状函数方法可以对金属散射体<5>进 行成像,而且不受迭代初值的影响.在求解逆问题时,为了消除方程的病态,采用了Tikhon ov正则化方法.1成像方法局部形状函数法是由美国学者W.C.Chew提出的一种适用于强 散射体的成像算法<6>,此方法的基本思想是将成像目标及其区域划分为许多网格,对于含有成 像目标的小网格赋予1或者很高的电导率,对于不含有成像目标的网格赋予0或者低电导率.如图 1所示,平面图表示的是含有金属导体有耗介质的断面,S是成像目标,Vn是第n个小网格,E zg,n(ri,t)是入射波,L是取值位置.x(r)=1,r∩s≠00,r∩s=0(1 )式(1)就是目标函数的表达式,包含散射体的小网格定义为1,不含有散射体的小网格定义为 0.但是在求解逆问题的过程中,因为x(r)是目标函数,不可能是二值函数,所以在逆问题中放宽了x(r)的取值范围,可以取任意的实数.图1LSF法二维模型Fig.1 LSF method applied to 2-D problem当平面波入射到金属散射体时,频域Maxwell方程为×Ht=(jωε+σ) Et(2)×Et=jωμ0Ht(3)式中:t表示总场;ε为介电常数;σ为电导率;μ为磁 导率.式(2)也可以写为×Ht=(jωε+σ)Et=
Et+jω ε0Et(4)令Je=Et(5)那么×Ht=Je+jω0εEt (6)比较上面的公式可以得出这样的结论:如果在介质空间中引入等效体电流Je,将介质体从 空间中移去,使其成为自由空间,可得到同样的电磁场.假设入射场为单位TM波,即Eiω(x ,y)=e-jk(xcosφ+ysinφ)ez,其中φ为入射角,结合局部形状函数法的基 本思想,则得到Es(p)=-ωμ04s∫x(p′)Et(p′)Et(p′)H(02)( |p-p′|)dp′(7)式中:H0(2)为0阶第二类Hankel函数;p′表示源点; p为场点;Es为散射场.式中:x(p)′=σ(p)′+jω<ε(p′)-1>ε0(8) 根据公式Ei+Es=Et(9)得到Ei(p)=Et(p)+ωμ04s∫x(p′)Et( p′)H0(2)(|p-p′|)dp′(10)对式(7)和式(10)进行变分,得到下面 的等式δEs=-ωμ04s∫(Etδx+xδEt)H0(2)(|p-p′|)dp′(1 1)0=δEt+ωμ04s∫(Etδx+xδEt)H0(2)(|p-p′|)dp′(1 2)利用有限元技术离散被积分区域为N个小区域,使得每个区域足够小,内部的总场和散射场为 一个值.将上式写为矩阵形式Aδx+BδEt=δEs(13)Cδx+(I+D)δΕt=0 (14)其中:mn=-ωμ04V∫nEntH0(2)(|pm-p′|)dp′(1 5)mn=-ωμ04V∫nxnH0(2)(|pm-p′|)dp′(16)m n=ωμ04V∫nEntH0(2)(|pm-p′|)dp′(17)mn=ωμ04 V∫nxnH0(2)(|pm-p′|)dp′(18)式中:m代表观测点的位置;Vn是第 n个子区域.结合式(13)(14)消去含有δEt的项δΕs=·δx=M·δx(19)上式即为反演方程,其解为δx=Re<(M+·M)-1·(M +·δEs)>(20)上式仅仅是一个形式解而已,在具体的求解过程中,方程(20)的条件 数成千上万,根本无法求解方程组,所以需要引进强制性的约束条件,采用了Tikhonov正 则化算法<7>,选择正则化因子γ满足下面的条件‖δΕs-M·δx‖2+γ‖δx‖2=m in(21)那么式(21)修正为δx=Re<(M+·M+γI)-1·(M+·δEs)> (22)实际实现时,正则化的因子一般都用最大主元法选取.定义目标函数为F(x)=‖Es meas-Esk‖2‖Esmeas‖2(23)图2即为算法框图,Esk为第k次迭代的散 射场幅度值.迭代算法初值的选择很重要,如Newton-Kantorovich方法,虽然 可以对散射体与背景介质介电常数之比达到10左右的散射体进行成像,可是Newton方法的 收敛依赖于迭代初值的选择,因此要根据已知的数据计算初值的分布,初值选择不好就很有可能得 不到需要的解<8>.本文所提出的方法就克服了这个缺点,对于所有的成像目标的初始估计均为 0,不需要为了能够收敛而计算特定的初始值.2数值结果实验中选用的金属散射体为钢筋,有耗介质为混凝土.分别对一根和两根位于混凝土中的方型钢筋进行成像.所选用的频率为2GHz,模型的断面为300 mm×300 mm,方型钢筋的断面为50mm×50 mm,成像区域划分为12×12的小方格.两种材料的特性参数可以参照表1,成像的具体迭代步骤如图2所示.表1成像目标特性参数表Tab.1 Characteristic parameters of the measured object材料相对介电常数相对磁导率电导率/(s·m-1)混凝土<18≈1≈10-6钢筋>2 000>300≈0.6×107当成像目标是单根金属散射体时,如图3所示,金属散射体位于成 像区域的中心,图4是迭代2次后得到的图像,根据结果可以看出,金属散射体的位置可以比较准 确地得出.当成像目标是两根方型金属散射体的时候,具体位置如图5所示,图6是迭代2次得到 的结果,可以看出成像结果和散射体的真实分布有一定的差距,图7是迭代4次得到的取值位置反 射强度曲线,图8是迭代4次得到的图像,从结果图像可以看出是比较令人满意的.图2算法框图Fig.2Diagram of algorithm图3一根散射体真实分布图Fig.3 Real distribution of one scatterer图4迭代2次后得到的结果Fig.4 Result after two iterations图5两根散射体真实分布图Fig.5 Real distribution of two scatterers图6迭代2次后得到的结果Fig.6 Result after two iterations图7迭代4次后的结果Fig.7 Result after four iterations图8迭代4次后得到的结果Fig.8 Result after four iterations3结论本文给出了一种对强散射体成像的迭代成像算法.基本思想是从体等效 原理出发,得到矩阵方程形式的反演方程.该算法结合了局部形状函数法(LSF)和有限元方法 (FEM)求解正问题<9>,采用了Tikhonov正则化方法消除方程的病态.根据成像结 果可以看出此方法可以对埋藏在有耗介质中的单金属体和多根金属体进行微波成像.基于体等效原理的金属散射体微波断层成像@张令涛$沈阳工业大学信息科学与工程学院!沈阳110023
@许会$沈阳工业大学信息科学与工程学院!沈阳110023
@张辉$沈阳工业大学信息科学与工程学院!沈阳110023探讨了有耗介质中金属散射体断层成 像的迭代算法.其基本思想是从体等效原理出发,得到矩阵方程形式的反演方程.正问题中利用有 限元(FEM)方法并参考局部形状函数法(LSF)的思想,利用极化横磁波(TM)照射被测 物体,得到正问题的解.在求解逆问题时,为了消除方程的病态,得到逆问题的真实解或其稳定近 似解,采用了Tikhonov正则化方法对求解过程进行约束和控制.为了能对金属散射体成像 ,借鉴了局部形状函数法(LSF)思想.实验结果证明此方法可以对单根或者多根金属散射体准 确成像.微波断层成像;;局部形状函数;;体等效原理;;Tikhonov正则化;;金属散射体;;有限元<1>MoghaddamM,Chew W C.Oristaglion comparison ofthe born iterative method and tarantola’s method for anelectromagnetic time-domain inverse problem.Int.J.Imaging Syst.Technol.,1994(3):318-333.
<2>Cui T J,Chew W C.Inverse scattering of two-dimen-sional dielectric objects buried in a lossy earth using thedistorted born iterative method.IEEE Transactionson Geosciencesand Remote Sensing,2001,39(6):339-346.
<3>Chew W C,Wang Y M.Reconstruction of two-dimen-sional permittivity distribution using t
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