1 引言球头立铣刀是加工模具和复杂型面的重要刀具 ,也是数控铣床、加工中心等数控设备最常用的刀具。随着数控技术的广泛采用 ,该类刀具的需求量不断增加。S形刃球头立铣刀与平前刀面球头立铣刀相比有易排屑、耐磨损、加工质量好等优点。已有学者对几种类型的球头铣刀进行了研究<1～ 4 > ,本文针对S形单切削刃球头立铣刀 (见图 1)的数学模型进行研究。图 1 S形刃球头立铣刀 2 前刀面数学模型前刀面由内前刀面和外前刀面两部分组成。前刀面与球面的交线是理论切削刃。2 1 内前刀面内前刀面是锥面的一部分 ,该锥面的锥轴线平行于铣刀轴线 ,与球的交线形成图 2中AB段切削刃。建立如图 2所示坐标系。坐标系OXYZ :O点为球心 ,Z轴为铣刀轴线 ,XOZ平面为基本平面。Y轴由X、Z轴右手法则确定 ,这样确立的切削刃在第一象限。坐标系O1X1Y1Z1:O1点过球顶点 (刀尖 ) ,且是XOY面的平行平面与锥轴线Z1的交点 ,X1、Y1、Z1轴分别平行于X、Y、Z轴 ,其中Z1轴是锥轴线。图 2 内前刀面数学模型坐标系图 2中主要变量说明 :r为在X1O1Y1平面内刀尖到O1的距离 ,是锥半径。Δx为调整参数 ,以保证切削刃过球顶点。Δy为调整参数 ,以保证切削刃最高点到XOZ平面的距离。η为变量 ,确定最高点位置 ,且保证在最高点处切削刃光滑过渡。从图 2中可以看出 ,XYZ和O1X1Y1Z1两坐标系之间换算关系为xyz=x1y1z1+r-Δx Δy R( 1)半径为R的球在OXYZ坐标系中方程为x2 +y2 +z2 =R2 ( 2 )在O1X1Y1Z1坐标系中 ,锥面初始母线的方程为rs1=r1+l ( 3)在图 2中r1=-rsin( η) rcos( η) 0l=-lsin( φ)sin( η) -lsin( φ)cos( η) lcos( φ) ( 4 )式中l、η为变量 ,φ是锥半角则rs1=-rsin( η) -lsin( φ)sin( η)rcos( η) -lsin( φ)cos( η) -lcos( φ)( 5 )在O1X1Y1Z1坐标系中 ,初始母线rs1绕Z1轴旋转形成锥面 ,设向径为rE1,转角为 β ,则rE1=AZ1( β)rs1=cos( β) -sin( β) 0sin( β) cos( β) 00 0 1-rsin( η) -lsin( φ)sin( η)rcos( η) -lsin( φ)cos( η) -lcos( φ)={ -rsin( η) -lsin( φ)sin( η) }cos( β) - {rcos( η)lsin( φ)cos( η) }sin( β){ -rsin( η) -lsin( φ)sin( η) }sin( β) + {rcos( η)lsin( φ)cos( η) }sin( β) -lcos( φ)( 6 )把rE1转换到OXYZ坐标中 ,则内前刀面方程为rE=rE1+O1={ -rsin( η) -lsin( φ)sin( η) }cos( β) - {rcos( η) -lsin( φ)cos( η)sin( β) +r-Δx}{ -rsin( η) -lsin( φ)sin( η) }sin( β) + {rcos( η) -lsin( φ)cos( η) }cos( β) +Δy -lcos( φ) +R( 7)其中 η、β、l为变量 ,且β∈ 0 ,π2 - η +arcsin(Δy/R) ( 8)2 2 外前刀面外前刀面是有径向前角γr 和轴向前角γa 的平面 ,此平面与内前刀面相切 ,其和球相交形成图 2中BC段理论切削刃。建立图 3坐标系 ,图中OXYZ坐标系和图 2中OXYZ坐标系一样。外前刀面过球面切削刃的最高点B点。B点坐标的确定要保证切削刃在B点光滑过渡 ,即保证AB段切削刃和BC段切削刃在B点有相同的螺旋角。图 3 外前刀面数学模型坐标系 这样 ,平前刀面的两个方向向量为γa 和γr,其中γα={ 0 -sin(γα) -cos(γα) } ( 9)γr={cos(γr) sin(γr) 0 } ( 10 )所以平前刀面的法向量为N =γα×γr=ijk0 -sin(γa) -cos(γa)cos(γr)sin(γr) 0={sin(γr)cos(γa) -cos(γr)cos(γa) cos(γr)sin(γa) } ( 11)设平面上任一点为P(x ,y ,z) ,B =(xk,yk,zk) ,则外前刀面方程为(P -B)N =0 ( 12 )即 sin(γr)cos(γa)x -cos(γr)cos(γa)y +cos(γr)sin(γa)z=sin(γr)cos(γa)xk-cos(γr)cos(γa)yk+cos(γr)sin(γa)zk=h ( 13) 3 后刀面数学模型后刀面由螺旋部分和平面部分组成。3 1 后刀面螺旋部分建立图 4坐标系 ,图中OXYZ坐标系和图 2中OXYZ坐标系相同。O2 X2 Y2 Z2 坐标系的原点O2 在OXYZ坐标系中的坐标为 (δ ,0 ,0 ) ,Y2 、Z2 轴分别与Y、Z轴平行 ,X2 轴和X轴重合。图 4 后刀面螺旋部分数学模型坐标系坐标系OXYZ和O2 X2 Y2 Z2 之间换算关系为xyz=x2y2z2+δ00( 14 )后刀面螺旋部分是初始直线CF(在XOY平面内 )绕Y2 轴旋转同时绕Z轴旋转形成的螺旋面。C点在球面上 ,是切削刃的初始点 ,在OXYZ中坐标为(Xc,Yc,0 )。直线CF上任一点mc 在OXYZ中方程为rmc=(xc l 0 ) ( 15 )式中l为变量。Xc 确定了初始直线的位置 ,同时也确定了砂轮的初始位置 ,其值可由理论切削刃和XOY平面交点确定。CF转换到坐标系O2 X2 Y2 Z2 中方程为rmc2 =(xc-δ l 0 ) ( 16 )在O2 X2 Y2 Z2 坐标系中 ,CF绕Y2 轴旋转。设转角为θ ,向径为rm2 ,所以rm2 =Ay2 (θ)rmc2=cos(θ) 0sin(θ)0 10-sin(θ) 0cos(θ)xc-δ l 0= (xc-δ)cos(θ)l- (xc-δ)sin(θ)( 17)把rm2 转换到OXYZ坐标系中 ,设向径为rmrm =rm+O2=(xc-δ)cos(θ +δ) l - (xc-δ)sin(θ)( 18)在坐标系OXYZ中rm 绕Z轴旋转形成了后刀面螺旋部分。设转角为Φ ,向径为r ,则后刀面螺旋部分方程为r =cos(Φ) -sin(Φ) 0sin(Φ)cos(Φ) 00 0 1(xc-δ)cos(θ) +δ l- (xc-δ)sin(θ)=<{xc-δ)cos(θ) +δ}cos(Φ) -lsin(Φ)<{xc-δ)cos(θ) +δ}sin(Φ) +lcos(Φ) - (xc-δ)sin(θ)( 19)其中θ、Φ、l为变量 ,按右手法则 ,θ应取负值 ,δ为调整参数 ,xc 为定值。磨刀时 ,θ和Φ的实际意义是 :θ为砂轮绕某轴线的转角 ,而此轴线要通过调整δ确定。Φ对应与铣刀的自转角 ,为使切削刃在球面上 ,θ和Φ之间应有一定的关系。3 2 后刀面平面部分建立图 5坐标系 ,图中OXYZ坐标系和图 2 (见图 4 )中OXYZ坐标系相同。后刀面平面部分过切削刃的最高点B点 (xk,yk,zk) ,且与后刀面螺旋部分光滑过渡 (相切 )。图 5 后刀面平面部分数学模型坐标系平后刀面上的两个方向向量为aθ=<-sin(θmax) 0 cos(θmax) >aΦ=<-sin(Φmax) -cos(Φmax) 0 >( 2 0 )式中 θmax———螺旋后刀面θ的最大值Φmax———螺旋后刀面Φ的最大值 ,θ和Φ如图 4所示。则平后刀面的法向量为n =aθ×aΦ=ijk-sin(θmax) 0cos(θmax)-sin(Φmax) -cos(Φmax) 0={ cos(θmax)cos(Φmax) -cos(θmax)sin(Φmax) sin(θmax)cos(Φmax) } ( 2 1)设后刀面平面上任一点P的向径为rp,则后刀面平面部分方程为(rp-rB)n =0 ( 2 2 )即 cos(θmax)cos(Φmax)x-cos(θmax)sin(Φmax)y +sin(θmax)cos(Φmax)z=cos(θmax)cos(Φmax)xk-cos(θmax)sin(Φmax)yk +sin(θmax)cos(Φmax)zk=T ( 2 3)其中由Φmax由θmax确定 ,而θmax由xk、yk、zk 确定。 4 实际切削刃实际切削刃由两部分组成 ,外前刀面和螺旋后刀面形成图 2所示BC段切削刃 ,内前刀面和平面后刀面部分形成图 2所示的AB段切削刃。实际切削刃由前、后刀面形成 ,但要保证在球面上 ,同时保证两段切削刃在B点光滑过渡 ,这样就要利用数学模型通过调整一系列参数Δx、Δy、r、φ、γr、γa、δ、θmax来实 现。 5 结语本文建立了S形刃球头立铣刀前、后刀面的数学模型。数学模型的建立为球头铣 刀刃磨参数的选择及刃磨装置的设计具有重要的作用S形刃球头立铣刀的数学模型@蔺小军$西北工业大学机电学院!710072西安市
@侯忠滨$西北工业大学
@何琼儒$西北工业大学S形刃球头立铣刀;;数学模型建立了S形刃球头立铣刀内前刀面、外前刀面及螺旋后刀面、平面后刀面的数学模型。该模型的建立为球头立铣刀刃磨参数选择
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