优化换向器冷锻模冲头锥角的显式目标函数

1　引言文章<1>报告了一种电机换向器整体冷锻新工艺的冷锻模冲头端部锥角优化设计及结果, 该冲头形状如图1所示.由于此种电机换向器要求大批量生产,必须保证冷锻模的稳定工作.在分 析了冲头端部锥角对模具结构、强度以及对成形工艺的影响后,选择固定凹模的强度及材料利用率 为该问题的两个性能指标.并给出了以冲头锥角α值为设计变量的最优化数学模型.图1　冲头结 构示意图　　　　　MinS1(α)=σmax(α)　　　　　MinS2(α)=100% -η(α)　　　　　S.t.　σmax(α)≤<σ>=2128　　　　　η(α)≥50 %　　　　　0°<α≤180°此模型并未给出目标函数中σmax(α)、η(α)的具体表 达式,属于一种隐式目标函数,且是分开来分别求两个目标函数的最优解、最优值.对于第一个目 标函数,应用UG软件中有限元分析模块Structures,就固定凹模的工作应力进行有限 元分析,得到固定凹模的最大工作应力,但无法得到σmax与α函数关系.对于第二个目标函数 ,采用试验法求解,完全由试验结果决定.这样的方法对问题中的物理意义了解不十分清楚,还带 有随机性,处理得有所欠妥.为此,本文在以前工作的基础上,通过分析固定凹模的受力情况,建 立力学模型,推导出第一个目标函数σmax(α)的具体表达式;并且通过几何关系、数值分析 、计算机辅助得到η(α)的具体表达式,建立了能反映其物理意义的具有显式目标函数的完整数学模型,并最终求得最优解.2　第一个目标函数具体化21　固定凹模的受力分析文章<1>中已经阐述了此带台阶槽型换向器的冷锻变形过程,由管坯直接 一次冷锻成形出换向器整体组件,其变形是一种复合冷锻变形,整个过程可分为6个变形阶段(6 种基本变形方式).由于冲头锥角形状的影响主要发生在变形的中前期,所以本文也还是从这一实 际出发,进行进一步的探讨.在变形的中前期金属流动和冲头对坯料及凹模的作用力如图2所示. 1-冲头2-固定凹模3-模套4-挡料块图2　冲头锥面作用力分解及影响分析　　从图中可以看到,冲头锥面对坯料产生的正压力F,水平分力为F1,垂直分力为F2,F1=F2ctg(α/2).垂直分力是使金属向下流动,水平分力使金属径向外扩,产生正挤压变形形成换 向器直壁内槽.在坯料变形力的作用下,固定凹模受内压p1的作用,并假设固定凹模的受力类似 于工程上称为厚壁圆筒的受力.在内压力p1、外压力p2的作用下,凹模产生周向应力σθ,如 果σθ的值超过材料的抗拉强度,则会发生固定凹模的强度失效而破裂.虽然固定凹模上端的作用 力稍小于其它位置,但其上端小圆环的壁厚远小于其它位置;并为实现变形工艺和成形要求(由模 具的装配知),小圆环的外圆是自由的,故固定凹模只受均匀内压p1的作用,而没有能造成预应 力的外压p2的作用.所以,固定凹模的上端小圆环是其危险部位,通过有限元分析和变形模拟也说明了这一点.22　推导固定凹模最大工作应力σmax(α)基于上述分析,本节讨论的目标函数主要是针对固定 凹模的上端部分只受内压作用下的应力分析而导出.试验已测得压力F2的变化情况,当冲头刚作用于固定凹模的上端时,F2=95.7KN,F1=F2ctg(α/2).考虑到轴对称状态,σρ和σθ都是半径ρ的函数,与θ角无关,所以,τρz 、τθρ=0,σρ和σθ都是主应力.此时的平衡微分方程为dσρ/dρ+(σρ-σθ)/ ρ=0<2>.再根据广义胡克定律以及边界条件:　　　　　σρ=-p1r21r22-r2 1(r22ρ2-1)　　　　　σθ=p1r21r22-r21(r22ρ2+1)上式表明 ,σρ恒为压应力,而σθ恒为拉应力.在筒壁内侧面处,两者同时达到极值.则　　　　　σθmax=p1(r22+r21)/(r22-r21)=p1 (21.72+17.42)/(21.72-17.42)=4.6015 p1如果冲头端部锥角为α,则小圆环的内压力　　　　　p1=95.7 ctg(α/2) 103π 34.8 (17.4-14.5) tg(α/2) 10-6=301.9987 ctg2(α/2) 106　　　　　∴σθmax=1389.6469 ctg2(α/2) 106由于固定凹模的整个内直壁上有小凹槽,必须考虑应力集中的影响<3>.取应力集中系数K=1/0.9,　　　　　M1(α)=σθmax K=1389.6469 ctg2(α/2) 106 K=1544.0521 ctg2(α/2)MPa3　第二个目标函数具体化由于换向器的壁部为槽形,圆管坯料的内壁金 属在冲头的作用下挤出固定凹模,形成槽形,留下的金属成形工件,因此,材料的利用率η(α) 等于工件与坯料的比值.在成形时,成形工艺要求坯料要能放进固定凹模,同时又要能定位,故取 坯料的外径比固定凹模的内径小0.2mm为34.6mm;为使换向器成形饱满,通过试验观察 坯料的内径最大为29mm,高度取为29mm.图3　换向器冷锻成形横截面示意在如图3所示 的横截面上,可以算出留下来的坯料的面积,通过Pro/E的三维造型后分析<4>,得到冲头 每一个凸起的面积为4.9275mm2,并且此换向器是21等分,所以A留=π(17.42-14.52)+21π 0.82/2-21 4.9275=208.1047mm2同时坯料的横截面积为:　　　　　A坯=π(17.32-14.52)=279.5856mm2因此知材料的利用率为:η=A留/A坯 100%=208.1047/279.5856 100%=74.43%.此种方法计算的利用率认为坯料开始全部都在固定凹模中,但实际上,由 图2知固定凹模的高度为18.7mm,而坯料的高度为29mm,因此有10.3mm的部分露 在固定凹模的外面.露在外面部分的金属在冲头端部锥面的作用下,既产生径向外扩,又向下流动 .由于外扩的存在,使向下流动的金属较之在固定凹模内的要少,因此,以上计算的利用率要偏小 .由于锥角大小的不同,向外扩的金属的比例是不同的,得利用率η是锥角α的函数;并可近似认 为锥角为180°时,是没有外扩力的,此时的利用率就为74.43%;同理可认为锥角为0° 时(实际上是不可能的),材料利用率极限为100%.通过试验,在坯料大致相同的条件下,记 录下不同的冲头端部锥角其材料利用率如表1.关于此类根据离散的点来确定自变量α与因变量η 之间的函数关系,往往采用数值分析函数逼近中的曲线拟合的最小二乘法<5>.即对给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,…,m),要求在函数类Φ={Φ0,Φ1,…,Φn}中找一个函数y=S(x),使误差平方和‖δ‖22=∑mi=0δ2i=∑mi=02最小.这里S(x)=a0Φ0(x)+a1Φ1(x)+…+anΦn(x) (n2的最小值,通过求多元函数极值的必要条件的推导,有　　　　　∑nj=0( k,j)aj=∑mi=0f(xi)k(xi)≡dk　(k=0,1,…,n)此方程 称为法方程,可写成矩阵形式　　　　　Ga=d对于这个问题,将所给数据标出,并作出拟合曲 线,拟合结果,如图4所示.图4　试验点及曲线拟合从图中看出,符合某种指数形式(实际证明 ,指数形式精度最高),现令拟合曲线形如η=aebπ-α+0.744显然,当α→π时,若 b<0,则η→0.744;若a>0,α增加时,η减少,与给出数据规律相同.对上式两边取 对数,得ln(η-0.744)=lna+b/(π-α)又令y=ln(η-0.744), A=lna,x=1/(π-α)于是,由(α,η)计算出(x,y),拟合曲线为y=A+b x.根据x的定义可知α=π是不可取的,因此有五组数据,m=4,同时将n=1,Φ0=1, Φ1=x代入,用C语言编制程序,求解法方程Ga=d.解得　　　　　A=-0.0503, b=-4.5410从而　　　　　a=0.9509最后求得η=0.9509e-4.541 π-α+0.7444　具体数学模型将σmax(α)、η(α)的表达式代入数学模型中:　　　　　MinS1(α)=1544ctg2(α/2)　　　　　MinS2(α)=1-0.9509e-4.541π-α+0. 744　　　　　　　=0.256-0.9509e-4.541π-αS.t.　　　　　σ max(α)≤<σ>=2128　　　　　η(α)≥50%　　　　　0°<α≤180°这 是一个多目标最优化问题,根据推导出的公式,作出S1(α),S2(α)的曲线,如图5所示 .图5　目标函数S1(α),S2(α)曲线分析两个目标函数,从图中知S1(α)是单调递 减的,S2(α)是单调递增的.两个目标函数不能同时达到最优,先通过以下处理给予协调.在 工业生产中,总是希望追求到最大的经济效益,把成本降到最低.那么提高材料利用率是其中一项 重要的指标.从图中看出,为了得到较高的利用率,α越小越好;但是α的减少,却导致模具应力 的急剧增加,不能超出材料的许用应力,否则因为模具的破裂损坏而影响模具的寿命,结果适得其 反.所以在满足强度要求的前提下的最大材料利用率才是最优解.由此可确定,当模具工作应力达 到许用应力的α就是最优解.于是,把S1(α)=<σ>=2128MPa代入第一个目标函数 ,得到α=81.03°(已在图5中标出).将其再代入第二个目标函数,得S2(α)=0.187.因此得最优解为α=81.03°,最优值为S 1(α)=2128MPa,S 2(α)=-0.187,材料利用率η (α)=81.3%.利用上述优化处理的结果,与文章1中的优化结果