1 引言合理选择刀具参数是插齿刀设计的主要任务之一。刀具主要参数选择的合理性直接影响齿轮加工质量和刀具使用寿命。按照传统的插齿刀设计方法 ,在确定刀具主要参数时 ,首先需要凭借设计者的经验或通过与同类刀具的类比初步确定有关参数 ,然后进行必要的分析与校核计算 ,如无法满足设计要求 ,则需要调整参数 ,然后再次进行分析与校核计算 ,如此多次循环 ,直至满足设计要求为止。显然 ,传统的设计过程主要采用人工试凑及类比分析方法 ,计算繁琐 ,设计周期长 ,且一般很难得到最优化的设计参数。有鉴于此 ,本文拟应用优化设计理论与方法确定直齿内插齿刀的主要参数 ,从而为提高该类刀具的设计质量奠定可靠基础。 2 刀具优化设计的数学建模1.1 选择设计变量设计内插齿刀时 ,需要确定的主要参数有 :分度圆直径ｄ0 、齿数Ｚ0 、最大变位系数ｘ0ｍａｘ、最小变位系数ｘ0ｍｉｎ、前角γ、齿顶后角αｅ、插齿刀厚度Ｂ等。其中 ,ｄ0 、γ、αｅ、Ｂ等参数可参考标准插齿刀的相关数据确定 ;而ｘ0ｍａｘ、ｘ0ｍｉｎ、Ｚ0 这三个对内齿轮加工质量和刀具使用寿命具有决定性影响的参数的确定则要受到顶切、根切、负啮合角、过渡曲线干涉等诸多因素的限制 ,情况比较复杂 ,需通过综合考虑插齿加工情况进行设计。因此 ,为简化问题且又不影响设计质量 ,本文选择ｘ0ｍａｘ、ｘ0ｍｉｎ和Ｚ0 三个主要参数作为设计变量 ,即设计方程为Ｙ =(ｙ1,ｙ2 ,ｙ3 ) Ｔ=(ｘ0ｍａｘ,ｘ0ｍｉｎ,Ｚ0 ) Ｔ其中 ,Ｚ0 应取整数。1.2 建立目标函数新插齿刀的ｘ0ｍａｘ 与报废前最后一次刃磨的ｘ0ｍｉｎ之差决定了刀具的可重磨厚度 ,即决定了刀具使用寿命。因此 ,在限制条件允许范围内 ,可重磨厚度应尽可能选大一些。ｘ0ｍａｘ影响齿轮的加工精度和表面质量 ,Ｚ0 则影响刀具耐用度和齿轮加工质量。在条件允许范围内 ,这两个参数也应尽可能选大一些。综上所述 ,可确定以下优化目标函数 :ｍａｘＦ1(Ｙ) =ｘ0ｍａｘ-ｘ0ｍｉｎ=ｙ1-ｙ2Ｆ2 (Ｙ) =ｘ0ｍａｘ=ｙ1Ｆ1(Ｙ) =Ｚ0 =ｙ3采用加权组合法将以上三个分目标函数组成统一的目标函数 ,即ｍａｘＦ(Ｙ) =∑3ｊ=1 ＷｊＦｊ(Ｙ)1.3 确定约束条件(1)不发生内齿轮齿顶干涉顶切的约束条件由文献 <1>、<2 >可知 ,如ｘ0ｍｉｎ和Ｚ0 选择不合理 ,插制内齿轮时插齿刀齿根非渐开线部分将参与啮合 ,从而发生齿轮顶切。为避免这种情况发生 ,须满足以下条件 :ｒａ2 ≥ｒ2 ｂ2 +(ａ0 2 ｓｉｎα0 2 ) 2在极限情况下 ,α0 2 =(α0 2 ) ｍａｘ,ｘ0 =ｘ0ｍａｘ,此时有ｔａｎ(α0 2 ) ｍａｘ=2ｒ2ａ2 -ｒ2ｂ2ｍ(Ｚ2 -Ｚ0 )ｃｏｓα(ｘ0 ) ｍｉｎ=ｘ2 - <ｉｎｖ(α0 2 ) ｍａｘ-ｉｎｖα>(Ｚ2 -Ｚ0 )2ｔａｎα式中 ｒａ2 ,ｒｂ2 ———内齿轮齿顶圆和基圆半径ａ0 2 ———插齿刀与内齿轮的中心距Ｚ0 ———内齿轮齿数(ｘ0 ) ｍｉｎ———插齿刀允许的最小变位系数ｘ2 ———内齿轮变位系数(α0 2 ) ｍａｘ———插齿刀与内齿轮允许的最大啮合角α———内齿轮的压力角ｍ———内齿轮的模数。不发生内齿轮齿顶干涉顶切的约束条件为ｇ1(Ｙ) =ｘ2 - <ｉｎｖ(α0 2 ) ｍａｘ-ｉｎｖα>(Ｚ2 -ｙ3 )2ｔａｎα -ｙ2 ≤ 0(2 )不发生切入顶切的约束条件由文献 <1>、<2 >可知 ,如Ｚ0 和ｘ0ｍａｘ选择不合理 ,插齿刀在切入时会将齿轮的齿顶角切去。为避免这种现象发生 ,须满足以下条件 :ａ0 ≤ａ0 ′其中ａ0 =Ｓ0ｍＺ0-ｉｎｖαａ0 +ｉｎｖαａ0 ′=ａｒｃｓｉｎ 1- η2 ｉ21-ｉ2 -λ0式中 ａ0 ———插齿刀齿顶啮合转角ａ0 ′———插齿刀齿顶啮合转角不发生切入顶切的临界值Ｓ0 ———插齿刀分度圆齿厚αａ0 ———插齿刀顶圆压力角η———内齿轮顶圆半径与插齿刀顶圆半径的比值 ,即 η =ｒａ2 /ｒａ0ｉ———插齿刀齿数与内齿轮齿数的比值 ,即ｉ=Ｚ0 /Ｚ2λ0 ———插齿刀齿顶角转过角度 ,计算公式为λ0 =1ｉ ａｒｃｓｉｎ 1η1- η2 ｉ21-ｉ2 -ａ2ａ2 ———内齿轮齿顶啮合转角 ,计算公式为ａ2 =Ｗ2ｍＺ2+ｉｎｖα -ｉｎｖαａ2Ｗ2 ———内齿轮分度圆齿槽宽αａ2 ———内齿轮齿顶圆压力角不发生切入顶切的约束条件为ｇ2 (Ｙ) =ａ0 -ａ0 ′≤ 0(3)不发生负啮合角的约束条件由文献 <1>、<2 >可知 ,插齿刀插切内齿轮时 ,如啮合角α0 2 为负值 ,则根本无法啮合。为避免这种现象发生 ,须满足以下条件 :ｉｎｖα0 2 =2 (ｘ2 -ｘ0ｍａｘ)ｔａｎαＺ2 -Ｚ0+ｉｎｖα≥ 0不发生负啮合角的约束条件为ｇ3 (Ｙ) =2 (ｙ1-ｘ2 )Ｚ2 -ｙ3ｔａｎα -ｉｎｖα≤ 0(4)不发生过渡曲线干涉的约束条件由文献 <1>、<2 >可知 ,插齿刀加工出的内齿轮与小齿轮啮合时可能发生过渡曲线干涉现象 ,此类干涉分为两种情况 ,分别讨论如下 :①为避免内齿轮齿根过渡曲线与小齿轮齿顶发生干涉 ,须满足以下条件 :Ｚ0 ｔａｎαａ0 +(Ｚ2 -Ｚ0 )ｔａｎαａ0 ≥Ｚ1ｔａｎαａ1+(Ｚ2 -Ｚ1)ｔａｎα12式中 αａ1———小齿轮齿顶圆压力角Ｚ1———小齿轮齿数α12 ———小齿轮与内齿轮的啮合角不发生这种过渡曲线干涉的约束条件为ｇ4(Ｙ) =Ｚ1ｔａｎαａ1+(Ｚ2 -Ｚ1)ｔａｎα12 -ｙ3 ｔａｎαａ0- (Ｚ2 -ｙ3 )ｔａｎα0 2 ≤ 0②为避免内齿轮齿顶与小齿轮齿根过渡曲线发生干涉 ,须满足以下条件 :ｒ2 ａ2 -ｒ2ｂ2 -ａ12 ｓｉｎα12 ≥ａ0 1ｓｉｎα0 1-ｒ2 ａ0 -ｒ2ｂ0式中 ａ12 ———小齿轮与内齿轮啮合时的中心距 ,计算公式为ａ12 =(Ｚ2 -Ｚ1)ｍ2ｃｏｓαｃｏｓα12ｉｎｖα12 =2 (ｘ2 -ｘ1)Ｚ2 +Ｚ1ｔａｎα +ｉｎｖα ａ0 1———插齿刀与小齿轮的中心距 ,计算公式为ａ0 1=(Ｚ1+Ｚ0 )ｍ2ｃｏｓαｃｏｓα0 1ｉｎｖα0 1=2 (ｘ1+ｘ0ｍａｘ)Ｚ1-Ｚ0ｔａｎα+ｉｎｖα其中 ,α0 1为插齿刀与小齿轮的啮合角。不发生这种过渡曲线干涉的约束条件为ｇ5(Ｙ)ａ0 1ｓｉｎα0 1-ｒ2ａ0 -ｒ2 ｂ0 -ｒ2ａ2 -ｒ2 ｂ2 +ａ12 ｓｉｎα12 ≤ 0(5 )内齿轮根圆半径变化的约束条件由于插齿刀各端截面的变位系数不相等 ,因此用新、旧插齿刀加工内齿轮时得到的根圆半径ｒｆ 也不相同。为保证齿轮副正确啮合 ,应使根圆半径的变化值Δｒｆ 尽可能小。由文献 <1>可知 ,为避免Δｒｆ过大 ,应满足插齿刀允许的最小变位系数 (ｘ0 ) ｍｉｎ≥- 0 6 ,即约束条件为ｇ6(Ｙ) =- (0 6 +ｙ2 )≤ 0此外 ,如内齿轮根圆半径有严格的公差要求 ,则须满足条件|ｒｆ2 ′-ｒｆ2 |≤ <Δｒｆ>式中 <Δｒｆ>———允许的内齿轮根圆半径公差值ｒｆ2 ———内齿轮根圆半径的名义尺寸ｒｆ2 ′———内齿轮根圆半径的实际尺寸 ,计算公式为ｒｆ2 ′=ａ0 2 ′ +ｒａａ0 2 ′ =(Ｚ2 -Ｚ0 )ｍ2ｃｏｓαｃｏｓα0 2 ′式中 ａ0 2 ′———插齿刀与内齿轮的实际中心距α0 2 ′———插齿刀与内齿轮的实际啮合角因此 ,保证内齿轮根圆半径公差要求的约束条件为ｇ7(Ｙ) =|ｒｆ2 ′-ｒｆ2 |- <Δｒｆ>≤ 0(6 )不发生插齿刀齿顶变尖的约束条件由文献 <1>、<2 >可知 ,插齿刀变位系数ｘ0 的增大受到刀具齿顶变尖、刀具耐用度降低的限制。为避免这种情况发生 ,新插齿刀的齿顶宽度Ｓａ0 必须大于 (或等于 )最小允许齿顶宽度 <Ｓａ0 >,即Ｓａ0 ≥<Ｓａ0 >。对于新刀具 ,ｘ0 =(ｘ0 ) ｍａｘ,Ｓａ0 和 <Ｓａ0 >可由下式计算 :Ｓａ0 =π +4ｘ0ｍａｘｔａｎαＺ0+2 (ｉｎｖα -ｉｎｖαａ0 )ｒａ0<Ｓａ0 >=0 .0 10 7ｍ2 +0 .2 4 6 3ｍ +0 .3381不发生插齿刀齿顶变尖的约束条件为ｇ8(Ｙ) =<Ｓａ0 >-Ｓａ0 -Ｓａ0 ≤ 0(7)插齿刀渐开线齿形有效部分长度约束条件由文献 <2 >可知 ,为保证插齿刀插切出的内齿轮能与小齿轮正确啮合 ,插齿刀应有足够长度的渐开线齿形 ,这就要求满足以下条件 :ε0ｍｉｎ≥ε式中 ε———内齿轮副的重合度ε0ｍｉｎ———插齿刀允许的最小重合度 ,计算公式为ε0ｍｉｎ=Ｚ02π<ｔａｎ(αａ0 ) ｍｉｎ-ｔａｎαｐ0 >式中 (αａ0 ) ｍｉｎ———ｘ0 =(ｘ0 ) ｍａｘ时插齿刀的顶圆压力角αｐ0 ———插齿刀有效渐开线起始点Ｐ处的压力角 ,通常取αｐ0 =0插齿刀渐开线齿形有效部分长度约束条件为ｇ9(Ｙ) =ε -ε0ｍｉｎ≤ 0综上所述 ,内插齿刀主要参数优化设计的数学模型为ｍｉｎＦ(Ｙ) =∑3ｊ=1 -ＷｊＦｊ(Ｙ)Ｙ∈Ｒ3约束条件为ｇｉ(Ｙ)≤ 0 (ｉ=1,2 ,… ,9) 2 刀具优化设计方法的选择在上述刀具参数优化设计数学模型中 ,Ｚ0 为整形设计变量 ,ｘ0ｍａｘ、ｘ0ｍｉｎ为连续设计变量。待求解问题是一个由 9个不等式约束的小型非线性混合设计变量规划问题。针对数学模型的特点 ,宜选择内点惩罚函数法求解。内点惩罚函数法的计算程序可从微机优化方法程序库ＰＣ ＯＰＢ中调用 ,程序代号为ＭＰＯＰ。使用该程序时 ,设计者不必给出可行的初始点 ,程序可自动
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