可转位球头立铣刀是一种加工空间自由曲面的先进刀具 ,它除具有可转位刀具的所有优点外 ,与整体式球头立铣刀相比 ,由于各搭接刀片分段进行切削 ,大大改善了刀刃非自由切削的不良状态 ,减小了非自由系数 ,从而减小了切削力<1> 。在参考文献 <2 >中已建立了端刃几何造型的基础理论 ,但查阅国内外相关资料 ,目前尚未见到可转位球头立铣刀周刃与端刃搭接方法的相关报道。本文作者建立了可转位球头立铣刀周刃与端刃搭接方法的数学模型 ,利用该模型可计算出搭接处附近所加工出的表面的几何形状误差、周刃修型的控制参数 ,提出了减少加工误差的措施 ,并给出了计算实例。1 端刃与周刃在搭接处附近所加工出的表面的几何形状误差的计算方法设铣刀周刃的各项参数如下 :铣刀半径Ｒ ,刃倾角λｓ,考虑到刀片的加工方便和高利用率 ,前刀面初设为正方形 ,这样正方形的四个边都可以作为刃口 ,设正方形边长为Ａ(见图 2 )电。已知端刃在搭接处的幺切矢<2 > 为θ =0时的 Ｔ 0 ,即 Ｔ0 =(0 ,11+ｍ2 ,ｍ1+ｍ2 ) Ｔ,其中ｍ =ｃｏｔω1,ω1为螺旋角。由该式可见 Ｔ0 垂直于Ｘ轴。设圆柱面参数方程为 : ｒ=(ｘ ,ｙ ,ｚ) Ｔ =(Ｒｃｏｓθ ,Ｒｓｉｎθ ,Ｖ) Ｔ (1)式中θ为角度变量 ,Ｖ为圆柱体高度变量 ,在图 1中为负值。令Ｎ为刀片切削刃的中点 ,且在圆柱面上 ,见图1。设ＣＤ方向矢为 Ｐ ,假定周刃旋转后在搭接处的切图 1 坐标系 图 2 刀片前刀面矢与 Ｔ0 平行 ,因ＣＤ为直线在同一坐标系中 ,必有 : Ｔ0 × Ｐ =0 (2 )取 Ｐ为 Ｔ0 ,则其必满足 (2 )式。过Ｎ(Ｒｃｏｓθ ,Ｒｓｉｎθ ,Ｖ)点的直线ＣＤ ,其方程为ｙ-Ｒｓｉｎθ11+ｍ2=ｚ-Ｖｍ1+ｍ2(3)下面求切削刃ＣＤ绕ＯＺ轴旋转后的方程。由 (3)式得ｘ =Ｒｃｏｓθ ｙ=Ｒｓｉｎθ + ｚ-Ｖｍ (4)由 (4)式 ,得ｘ2 + ｙ2 =(Ｒｃｏｓθ) 2 + (Ｒｓｉｎθ+ ｚ-Ｖｍ ) 2 (5 )令 (5 )式中ｘ=0得直线ＣＤ绕ＯＺ轴旋转后的单叶双曲面的轴截面方程ｙ2 - (Ｒｓｉｎθ + ｚ-Ｖｍ ) 2 =(Ｒｃｏｓθ) 2 (6 )为方便计算 ,令Ｃ点在ｘｏｙ平面上 ,如图 1所示。则刀刃ＣＤ在Ｚ轴上的投影长度为- 2Ｖ ,且 - 2Ｖ =Ａｃｏｓλｓ,即 Ｖ =- (Ａｃｏｓλｓ) / 2 (7)把 (7)式代入 (6 )式 ,得ｙ2 - ｚ+ｍＲｓｉｎθ+ 0 5Ａｃｏｓλｓｍ2 =(Ｒｃｏｓθ) 2 (8)如图 3所示 ,除Ｎ点外 ,Ｃ、Ｄ两点因不在圆柱面上要引起最大的加工表面形状误差 ,且在ｚ =0或ｚ =2Ｖ处产生 ,令 ｙｍａｘ 为Ｃ点旋转后的单叶双曲面轴剖面在ｙ轴上的最大正坐标值。代入ｚ =0于 (8)式中得ｙｍａｘ =(Ｒｓｉｎθ+ Ａ2ｍｃｏｓλｓ) 2 +Ｒ2 ｃｏｓ2 θ (9)显然在Ｃ点所引起的加工表面的几何形状误差有最大值Δｍａｘ =ｙｍａｘ-Ｒ (10 )2 降低周刃加工表面的几何形状误差的方法周刃加工表面的几何形状误差产生的原因是刀刃上Ｃ、Ｄ两点不在圆柱面上。如图 2所示 ,如果将ＮＣ段从Ｎ点两边倒角Φ ,使ＣＤ段成为折线Ｄ″ＮＣ″形状的刀刃 ,显然会减小Ｃ、Ｄ两点所引起的加工表面的几何形状误差。理想状态是这三点在前刀面上柱面相交的椭圆线上 ,此时Δｍａｘ =0。但刀片为椭圆线时难以制造 ,此法不可取。为此用直线ＮＣ″代替其对应的弧线 ,此法既可以部分降低表面形状误差 ,又可以使刀片容易制造。因ＣＣ″为刀片上多余的凸出椭圆线部分 ,其将导致“多切”。现在求所倒角Φ值的大小。尽管ＣＣ″线未必一定与ＯＺ轴垂直 ,但要部分消除ＣＣ″线引起的加工表面的几何形状误差 ,仍然可以近似用Δｍａｘ 作ＣＣ″值。倒角后的刀片ＮＣ″旋转后加工出的表面 ,其最大几何形状误差应该减小。在图 2中 ,考虑直角三角形ＮＣＣ″ ,有ｔａｎΦ =2Ａ((Ｒｓｉｎθ+ Ａ2ｍｃｏｓλｓ) 2 +Ｒ2 ｓｉｎ2 θ-Ｒ)(11)(11)式既是周刃修型角Φ的求解公式 ,也是控制修型参数的指标。其值与Ｒ、Ａ、λｓ、ｍ有关。如图 2所示 ,现在求解修型Φ角后 ,在Ｃ″点引起的最大表面形状误差大小。连接Ｃ″Ｄ″ ,交其对称轴于点Ｎ′ ,求解Ｃ″引起的Δ′ｍａｘ,就相当于把Ｎ点移动到点Ｎ′后 ,Ｃ″Ｄ″在Ｃ″点引起的最大的表面形状误差值 ,这时要把Ｃ″Ｄ″当成假想的刀片 ,不过此时的旋转半径不是Ｒ ,而是 (Ｒ-Δｍａｘ)。因此 ,如用 (Ｒ-Δｍａｘ)代替 (9)式中的Ｒ ,即可求得Ｃ″点旋转后的单叶双曲面轴剖面在 ｙ轴上的最大坐标值 ,进而求得其最大表面形状误差值Δｍａｘ。Δｍａｘ=(Ｒｓｉｎθ -Δｍａｘｓｉｎθ +Ａ2ｍｃｏｓλｓ) 2 +(Ｒ -Δｍａｘ) 2 ｓｉｎ2 θ -Ｒ(12 )参考图 2、图 3,用直线ＮＣ″与ＮＤ″代替其对应弧线后 ,这时将产生负误差 ,即“少切” ,令其为Δｃｏ。由于Ｃｏ将处于ＮＣ″中点处 ,求ΔＣＯ 时 ,相当于刀片半径Ｒ变为 (Ｒ - 0 5Δｍａｘ)且刀片长度Ａ变为 0 5Ａ ,代入(9)式中得Ｃｏ处旋转后的单叶双曲面轴剖面在ｙ轴上的最大坐标值 ,令其为ＹＣＯ,则ＹＣＯ =(Ｒｓｉｎθ- 0 5Δｍａｘｓｉｎθ+Ａ2ｍｃｏｓλｓ) 2 +(Ｒ - 0 5Δｍａｘ) 2 ｓｉｎ2 θ(13)把 (13)式代入 (10 )式得ΔＣＯ =ＹＣＯ -Ｒ (14 )3 刀刃修型后搭接处受到的影响如上分析 ,仅考虑端刃与周刃在连接处的切矢 Ｐ与 Ｔ0 的平行 ,将产生最大表面误差Δｍａｘ,此时是“多切”。对切削刃修型后 ,误差将减少到Δ′ｍａｘ,但在两个刀刃的搭接处附近其切矢却不一定平行 ,将“少切”ΔＣＯ,而且需要把刀片轴向微微调整 ,使Ｃ″仍在ｘｏｙ平面上。由于铣刀有进给运动 ,“少切”自然比“多切”好 ,“少切”的部分可以由周刃上不产生表面几何形状误差的Ｎ点再切除 ,这样就可解决“少切”这个问题。减少刀刃长度Ａ、增大铣刀半径Ｒ ,都可以减少两个刀刃所加工出的曲面的轴剖面在搭接处的切矢的夹角。4 求解修型后的周刃与端刃所加工出的两个回转曲面的轴剖面在搭接处的夹角α′图 3 旋转曲面的轴剖面 图 4 周刃与端刃的搭接如图 4所示 ,端刃加工出的回转曲面的轴剖面为半圆 ,在点Ｅ的切线为铅垂线 ,因此只需求解周刃形成的回转曲面的轴剖面曲线ＧＦＥ′与ｙ轴的交点Ｅ′与铅垂线的夹角即可。先求在Ｅ′点的切线斜率值。已知双曲线过Ｅ′、Ｆ、Ｇ点 ,且其在ｙｏｚ坐标系坐标为 Ｅ′(Ｒ +Δ′ｍａｘ,0 ) (15 ) Ｆ(Ｒ+ΔＣＯ,- 0 2 5Ａｃｏｓλｓ) (16 ) Ｇ(Ｒ +Δ′ｍａｘ,- 0 5Ａｃｏｓλｓ) (17)考察γ轴正向部分的双曲线 ,参考 (6 )式 ,令其形式为ｙ2ａ2 - (ｚ -ｔ) 2ｂ2 =1(18)代入Ｅ′、Ｆ、Ｇ的坐标值于 (18)式中 ,得ｔ=- (Ａｃｏｓλｓ) / 4 (19)ａ2 =(Ｒ +ΔＣＯ) 2 (2 0 )ｂ2 = (Ｒ+ΔＣＯ) 2 Ａ2 ｃｏｓ2 λｓ16 (Δ′ｍａｘ -ΔＣＯ) (2Ｒ +Δ′ｍａｘ+ΔＣＯ) (2 1)设α为切线与坐标系中 ｙ轴正向的夹角 ,则斜率为ｔａｎα ,由 (18)式 ,得双曲线在Ｅ′点的斜率为ｔａｎα =- ｂ2 (Ｒ +Δ′ｍａｘ)ａ2 ｔ (2 2 )把 (19)、(2 0 )、(2 1)式代入 (2 2 )式中得α=ａｒｃｔａｎ<Ａｃｏｓλｓ(Ｒ +Δ′ｍａｘ)4 (Δ′ｍａｘ-ΔＣＯ) (2Ｒ+Δ′ｍａｘ +ΔＣＯ) >(2 3)由于α′是切线与ｚ轴正向的夹角 ,故α′=90°-α (2 4 )(2 4 )式即为周刃修型Φ角后 ,所形成的回转曲面与端刃形成的回转曲面的轴剖面在搭接处附近的夹角α′的求解表达式。Δ′ｍａｘ 与α′是两个度量在搭接处附近所加工出的表面的几何形状误差的指标 ,α′值越小 ,说明其在搭接处附近所加工出的旋曲面在轴截面内的曲线的夹角越小 ;而Δ′ｍａｘ 越小 ,说明在搭接处吻合程度越好。5 计算实例设周刀刃半径Ｒ =2 5ｍｍ ,刀刃长Ａ =12ｍｍ ,ω1=2 0° ,λｓ =15° ,求Δｍａｘ、Δ′ｍａｘ、Φ、ΔＣＯ 及α′值的大小。解 :令θ=4 5°,由ｍ =ｃｏｔω1得 ｍ =2 74 75由 (10 )式得 Δｍａｘ =1 5 335ｍｍ由 (11)式得 Φ =14 34°由 (12 )式得 Δ′ｍａｘ =0 0 0 0 14 5=1 4 5 × 10 - 4ｍｍ由 (14 )式得 ΔＣＯ =- 0 0 0 984ｍｍ由 (2 4 )式得 α′=0 395°6 结论由以上的计算表明 :周刃刀片采用对称的折线型切削刃代替直线型切削刃可以大大减小搭接处所加工表面的几何形状误差 (ΔＣＯ =- 0 0 0 984ｍｍ) ,使周刃和端刃旋转后在搭接处近乎于一阶光滑连接 (α′ =0 395°) ,且刀片的制造简单。刀片前刀面上的原正方形四个边都可以用作切削刃 ,使用时只需旋转 90°即可 ,这样的一个刀片就相当于平常的那种直线刃单刀片四个。此搭接方法既提高了刀片的利用率 ,又易于刀片的标准化 ,其价值是不言而喻的。提高可转位球头立铣刀加工表面质量研究@黄斌$中国科学院光电技术研究所光学电子工程!四川成都610041
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