1 虚轴刀具刃磨机虚轴刀具刃磨机采用的运动机构为Ｓｔｅｗａｒｔ平台 ,驱动部件和主要受力部件是 6根连杆 ,由于这 6根连杆均为二力杆 ,只承受拉压载荷 ,可以大大提高机床刚性 .由于不必采用大截面的构件 ,可以降低移动部件的质量 ,从而可采用较高的运动速度和加速度 .虚轴刀具刃磨机提供空间 6个自由度 ,没有固定的运动轴 ,因此对于刃磨不同的刀具没有原理上的限制 ,也就是说虚轴刀具刃磨机的适用范围更广<1 > ,<2 > .图 1、图 2为北京航空航天大学研制的两代虚轴刀具刃磨机床 .原理样机(图 1 )采用步进电机 ,开环控制系统 ,在ＤＯＳ环境下用ＴＣ开发数控程序 .工程样机 (图 2 )采用伺服电机驱动 ,ＪＴ2 0 1 0数控系统ＡＭＫ伺服系统 .球头铣刀是加工复杂曲面的主要工具 ,在模 图 1 原理样机图 2 工程样机具、自由曲面ＮＣ加工中都占有十分重要的地位 .文献 <3>给出了球头螺旋铣刀 3种不同螺旋刃口曲线的求解公式和二轴联动数控刃磨加工时砂轮的截形和相对运动求解模型 ,根据实得沟槽的模型和计算机模拟结果分析了存在的不足 ,并给出了相应的后处理方法 .文献 <4>研究了球头铣刀球头部分几何参数的影响因素及各因素的选择方法 ,为设计与制造球头铣刀提供了理论依据 .本文针对圆锥 (柱 )球头铣刀的球头刀刃及前、后刀面与圆锥 (柱 )侧刃曲线及前、后刀面的数学模型进行了推导 ,研究了圆锥 (柱 )球头铣刀在虚轴机床上刃磨加工的方法 .2 圆锥球头铣刀的数学模型以圆锥球头铣刀的球心Ｏ建立坐标系Ｏｘｙｚ,见图 3,球头半径为ｒ ,圆锥体母线与ｚ轴的夹角为σ .2 .1 圆锥侧刃曲线方程圆锥面母线方程ｆ(ｚ) =ｚ·ｔａｎσ +ｒ ( 1 )在圆锥表面上任意一点Ｍ的坐标 ,可以写成如下参数方程的形式 :ｘ=ｆ(ｚ) ·ｃｏｓθｙ =ｆ(ｚ) ·ｓｉｎθｚ=ｚ( 2 )ａ 圆锥球头铣刀ｂ Ⅰ放大图 3 圆锥球头铣刀简图式中 ,θ为过Ｍ点的轴剖面在Ｍ点处相对于ｘ轴的旋转角 .圆锥侧刃可看作点Ｍ按θ =θ(ｚ)的规律在圆锥表面移动生成 ,根据螺旋面理论<5> ,刀刃曲线的参数方程可写成ｘ=ｆ(ｚ) ·ｃｏｓθ(ｚ)ｙ=ｆ(ｚ)·ｓｉｎθ(ｚ)ｚ =ｚ( 3)定义圆锥侧刃曲线的螺旋角 βｓ 为螺旋线切线与母线的夹角 ,取 βｓ 为一定值 ,即ｔａｎβｓ =ｆ(ｚ) ·ｄθ(ｄｚ) 2 + (ｄｆ(ｚ) ) 2 =ｆ(ｚ) ·ｄθｄｚ· 1 + ｄｆ(ｚ)ｄｚ2 ( 4 )ｄθ=ｔａｎβｓｆ(ｚ) · 1 + ｄｆ(ｚ)ｄｚ2 ｄｚθ =∫ｔａｎβｓｆ(ｚ) · 1 + ｄｆ(ｚ)ｄｚ2 ｄｚ ( 5 )将式 ( 1 )代入式 ( 5 ) ,并且当ｚ=0时 ,θ =0可以得到θ=ｔａｎβｓｓｉｎσ·ｌｎ 1 + ｚｒｔａｎσ ( 6)将式 ( 4 )代入式 ( 3) ,得到圆锥侧刃曲线方程ｘ=(ｚｔａｎσ+ｒ) ·ｃｏｓｔａｎβｓｓｉｎσ·ｌｎ 1 + ｚｒｔａｎσｙ=(ｚｔａｎσ+ｒ) ·ｓｉｎ ｔａｎβｓｓｉｎσ·ｌｎ 1 + ｚｒｔａｎσｚ =ｚ( 7)2 .2 球头刀刃的曲线方程按照同样的方法 ,也可以求出球头刀刃的曲线方程 ,球头刀刃曲线的螺旋角为 βｔ,球面的母线方程为ｆ(ｚ) =ｒ2 -ｚ2 ( 8)可以得到球头刀刃的曲线方程为ｘ=ｒ2 -ｚ2 ·ｃｏｓ 12 ｔａｎβｔ·ｌｎｒ +ｚｒ-ｚｙ=ｒ2 -ｚ2 ·ｓｉｎ 12 ｔａｎβｔ·ｌｎｒ +ｚｒ-ｚｚ =ｚ( 9)2 .3 圆锥侧刃与球头刀刃的交点位置如图 3所示 ,Ｋ为圆锥球头铣刀的顶点 ,圆锥侧刃与球头刀刃交点Ｂ ,显然ＯＢ与Ｏｙ轴的夹角等于母线与Ｏｚ轴之间的夹角σ ,从而可以确定球头刀刃ＫＢ所对应的球心角为 π2 -σ .2 .4 圆锥侧刃前、后刀面的数学模型圆锥侧刃的法前角、法后角分别为γｎｓ,αｎｓ,根据微分几何<6> 的定义 ,建立过Ｍ点的法剖面活动标架坐标系Ｍｘｎｙｎｚｎ,ｚｎ 为过Ｍ点刀刃曲线的切线方向 ,ｙｎ 为过Ｍ点刀刃曲线的主法线方向 ,ｘｎ 为过Ｍ点刀刃曲线的从法线方向 .从Ｍｘｎｙｎｚｎ到Ｏｘｙｚ的齐次坐标变换矩阵为Ａｎ =ｅｒｎ ｅｓｎ ｅｔｎ Ｍｎ0 0 0 1 ( 1 0 )式中 ,ｅｒｎ,ｅｓｎ,ｅｔｎ为Ｍｘｎｙｎｚｎ的 3个坐标轴在Ｏｘｙｚ中的单位矢量 ,Ｍｎ=<Ｍｎｘ Ｍｎｙ Ｍｎｚ>Ｔ,为Ｍ点在Ｏｘｙｚ中的位置矢量ｔｎ =ＺｎＺｎ ( 1 1 )式中 ,Ｚｎ 为Ｍｘｎｙｎｚｎ中ｚｎ 方向的矢量 ,Ｚｎ 可以根据式 ( 3)对ｚ求导得到 ,即Ｚｎｘ =ｆ′(ｚ) ·ｃｏｓθ(ｚ) -ｆ(ｚ) ·ｓｉｎθ(ｚ) ·ｄθｄｚＺｎｙ =ｆ′(ｚ) ·ｓｉｎθ(ｚ) +ｆ(ｚ) ·ｃｏｓθ(ｚ) ·ｄθｄｚＺｎｚ =1( 1 2 )ｓｎ =ＹｎＹｎ( 1 3)Ｙｎ 为Ｍｘｎｙｎｚｎ中ｙｎ 方向的矢量 ,同理可以得到Ｙｎｘ =ｄｄｚ ｆ′(ｚ) ·ｃｏｓθ(ｚ) -ｆ(ｚ) ·ｓｉｎθ(ｚ)·ｄθｄｚＹｎｙ =ｄｄｚ ｆ′(ｚ) ·ｓｉｎθ(ｚ) +ｆ(ｚ) ·ｃｏｓθ(ｚ)·ｄθｄｚＹｎｚ =0( 1 4)根据右手定则 ,可以得到ｒｎ =ｓｎ×ｔｎ ( 1 5 )2 .4.1 前刀面的数学模型在Ｍｘｎｙｎｚｎ中 ,平面ｙｎＭｘｎ 与前刀面的相交曲线方程为ｌ(ｙ) ,其方程形式为ｌｘ =ｙ·ｔａｎγｎｓｌｙ =ｙｌｚ =0( 1 6)把此曲线方程转换到Ｏｘｙｚ中 ,得到相交曲线在Ｏｘｙｚ中的表达式ｒ=Ａｎ·ｌ(ｙ) ( 1 7)ｒ是关于ｙ ,ｚ的函数 ,将ｙ ,ｚ分别在 <0 ,ｙ>,<0 ,ｚ>上取值 ,就可以得到前刀面的数学模型 .2 .4.2 后刀面的数学模型同理 ,平面ｙｎＭｘｎ 与后刀面的相交曲线方程为 ρ(ｙ) ,其参数方程形式为ρｘ =ｙ·ｃｏｔαｎｓρｙ =ｙρｚ =0( 1 8)把此曲线方程转换到Ｏｘｙｚ中 ,得到相交曲线在Ｏｘｙｚ中的表达式ｍ =Ａ·ρ(ｙ) ( 1 9)2 .5 球头刀刃前、后刀面的数学模型球头刀刃的法前角、法后角分别为γｎｔ,αｎｔ,参照圆锥侧刃前、后刀面的数学模型的求解方法 ,可以很容易的求出球头刀刃前、后刀面的数学模型 ,在此从略 .3 圆柱球头铣刀的数学模型圆柱球头铣刀是圆锥球头铣刀的特例 ,也就是说 ,当圆锥母线与锥轴的夹角σ→ 0时 ,圆锥球头铣刀就简化为圆柱球头铣刀 .比如式 ( 6)可以化简为θ=ｌｉｍσ→ 0ｔａｎβｓｓｉｎσ·ｌｎ 1 + ｚｒｔａｎσ =ｚｒｔａｎβｓ( 2 0 )相对应的圆柱侧刃曲线的方程为ｘ=ｒ·ｃｏｓ ｚｒｔａｎβｓｙ=ｒ·ｓｉｎ ｚｒｔａｎβｓｚ=ｚ( 2 1 ) 圆柱球头铣刀球头刀刃曲线的方程依然为式( 9) ,圆柱侧刃与球头刀刃的交点位置位于过球心并垂直于圆柱回转轴线的正交剖面上 .依次类推 ,可以得到圆柱球头铣刀的前、后刀面的数学模型 .4 球头铣刀的刃磨加工对于各种回转刀具 ,首先建立刀具的数学模型 ,由于在虚轴刃磨机床中 ,砂轮只作绕自身轴线的旋转运动 ,待刃磨加工的刀具作空间曲线运动 ,所以根据刀具的数学模型 ,求解广义的刀位轨迹 ,也就是刀具相对于砂轮的空间运动轨迹 ,动平台的空间运动轨迹 .再根据广义的刀位轨迹 ,利用式 ( 2 2 ) <2 > ,通过反向问题求解刃磨过程中任意位置的连杆长度 ,把广义的刀位轨迹用连杆坐标系下的连杆的长度变化来表示 .最后控制连杆长度的变化 ,完成刃磨加工运动 .ｒ =ｑｉｗｉ+ｂｉ-Ｒａ0ｉ ｉ =1 ,2 ,… ,6 ( 2 2 )式中 ,ｗｉ,ｑｉ,ｂｉ,ａ0ｉ分别表示支链ｉ的单位矢量和可变杆长 ,铰链点Ｂｉ,Ａｉ 在静平台坐标系Ｏｂｘｂｙｂｚｂ 和动平台坐标系Ｏｐｘｐｙｐｚｐ 下的位矢 ,Ｒ为姿态矩阵 ,由动平台的方向余弦角组成 .4.1 球头刀刃后刀面刃磨图 4为后刀面刃磨原理图 ,单侧后刀面刃磨须满足以下条件 :1 )刃磨时主切削刃上点Ｂ与砂轮圆柱面上点Ｇ重合 ,刃磨点Ｇ距砂轮端面的距离为ｔ.2 )后刀面法矢指向砂轮中心 .3)主切削刃上点Ｂ的切向量与砂轮圆柱面相切 ,并且垂直于砂轮轴线 .图 4 球头铣刀后刀面刃磨原理图刃磨加工时 ,以过球心Ｏｃ 的轴线ｘｃ 为定轴 ,动平台摆动± 45°实现一条主刃的刃磨 ,设转动角速度ω为常量 ,则任一时间ｔ的转角为ωｔ.Ｏｐｘｐｙｐｚｐ 相对于Ｏｂｘｂｙｂｚｂ 的位姿为ｒｄｗ =Ｌｄ·ｓｉｎωｔＬｄ·ｓｉｎαｎＬｄ· (ｃｏｓαｎ+ｃｏｓωｔ)( 2 3)Ｒｄｗ =ｃｏｓωｔ 0ｓｉｎωｔｓｉｎαｎ·ｓｉｎωｔ ｃｏｓαｎ -ｓｉｎαｎ·ｃｏｓωｔ-ｃｏｓαｎ·ｓｉｎωｔ ｓｉｎαｎ ｃｏｓαｎ·ｃｏｓωｔ( 2 4 )式中 ,Ｌｄ 为球头中心Ｏｃ 到Ｏｐｘｐｙｐｚｐ 的Ｏｐ 点的距离 ,αｎ 为球头刀刃的法后角 .4.2 圆锥 (柱 )侧刃后刀面刃磨如图 5所示 ,后刀面的切平面平行于砂轮轴线 ,法线垂直相交于砂轮轴线 ,由于形成后刀面的螺旋分量由主轴的自转自由度完成 ,所以姿态矩阵Ｒ则简化为单位阵 ,刃磨过程中动平台的运动为平动 .刀具沿自身轴线旋转的线速度ｖｔ 与沿母线方向运动的速度ｖａ 关系式为ｔａｎβｓ =ｖｔｖα( 2 5 )4.3 球头刀刃、圆锥 (柱 )侧刃前刀面刃磨如图 6所示 ,用圆锥砂轮的圆锥面进行前刀面的刃磨加工 ,形成前刀面的螺旋分量由主轴的自转自由度完成 ,Ｒ简化为单位阵 ,刃磨过程中动平台的运动为平动 .图 5 圆锥 (柱 )侧刃后刀面刃磨原理图图 6 前刀面刃磨原理图5 结 论分析虚轴刃磨机床的工作原理 ,虚轴机床提供空间 6个
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