随着精细农作研究 ,农业土壤电导率的测量问题逐渐引起人们的关注。从介电物理学的角度看 ,土壤电导率的测量实质上属于介电损耗测量理论与方法的研究范畴。然而 ,土壤物理学的研究结果表明土壤电导率本身包含了反映土壤品质与物理性质的丰富信息。例如 ,土壤中的盐分、水分、有机质含量 ,土壤质地结构和孔隙率都不同程度地影响着土壤电导率的改变。本文从理论上深入定量分析了一种土壤电导率测量方法——“电流 -电压四端法”,首先通过点源物理模型建立相应的 Laplace电位梯度分布方程 ,然后利用电位分布在半球面上呈对称分布的特殊边界条件求得解析解 ,进而由方程解以及线性系统的叠加原理导出一个关于土壤电导率的计算表达式。最后 ,再从土壤电导率宏观分布差异性和椭圆型偏微分方程离散解的“五点差分格式”出发 ,证得由点源法导出的描述土壤探针周围电位梯度分布偏微分方程的正确性。此外 ,对于 Wenner分布、Schlum-berger分布和 Polar dipole分布 3种测量组态 ,也进行了实验对比并给出了结论。1 电流—电压四端测量方法的电路结构所谓电流—电压四端法 ,即测试系统包括两个电流端和两个电压端。两个电流端提供所需的测量激励信号 ,通过检测两个电压端的电位差换算出介电材料的电导率。测量系统的原理如图 1所示 ,其中I表示一恒流源 ,充当测试系统的激励 ,DVM表示数字电压表。J与 K端为电流端 ,M与 N端为电压端。由导体电导率的定义知 ,如果测量对象横截面积与长度确定 ,则导体的电导率很容易求得。然而 ,对于大地电导率的测量 ,它恰恰是一个横截面积与长度都不确定的复杂测量对象<1> ,由此引伸出下面的一系列定量分析。图 1 电流 -电压四端法示意图Fig.1 A general configuration of four- electrodearray of current- potential图 2 单端 J点附近电位 -电流分布Fig.2 The distributions of potential andcurrent around the term inal J2 单点源作用定量分析点源法的分析思想是分别考虑在电流端 J与M与单独作用时它们对大地任意处电位分布的影响。从图 2定性分析看 ,当土壤被看作是均匀且各向一致的介电材料时 ,电流密度与电位梯度的分布是有规律的。若将点源看成球心 ,电流应沿半球体各个方向成辐射状均匀扩散。根据欧姆定律 ,电流密度 J与电场 E存在着J =ρE ( 1 )这里ρ为土壤的电导。又因为土壤中电位分布V与电场 E之间有E =- . V ( 2 )上式中负号表明电位分布沿梯度方向递减的 ,因此J=-ρ . V ( 3)如果被测量的区域范围内没有任何其它电流释放源与吸收源 ,那么应视为一个保守场。即以 M为圆心 ,任意半径 r为半圆球的球面两侧流入与流出的电流应相等。从场论的角度看电流密度的散度应满足Δ . J =0 ( 4 )进一步可推知Δ . J=1ρΔ . E =1ρΔ2 V =0 ( 5)由此得到偏微分方程的 Laplace方程 , 2 V =0 ( 6)从图 2分析半球上的电流与电位分布都是与半球的轴心对称的。所以 ,将式 ( 6)改写成极坐标形式更为方便。 r( r2 V r) + 1r2 sinθ θ( sin2 θ V θ) + 1r2 sin2 θ 2 V Ψ2 =0( 7)由于电位分布在半球面上的对称性 ,该方程的后两项实际为零。因此上式简化成 r r2 V r =0 ( 8)尽管大多数情况下偏微分方程因为边界条件的复杂性很难判定是否存在解析解 ,然而这里边界条件是一个半径无穷大的半圆球面 ,使得该方程确实存在解析解。这是因为由 ( 8)式知r2 V r=C此处 C应为任意待定常数。又因为 V r=Cr2V =- Cr+ D ( 9)D为另一个积分常数。由 r趋于无穷大时 V =0 ,可推知常数 D =0。另一方面 ,电流 I =∫sJds=∫sEρds=∫sCρr2 ds=- 2πCρ ( 1 0 )所以 ,VI =ρ2πr ( 1 1 )将式 ( 1 1 )改写成电导率的形式σ =1ρ=12πrIV ( 1 2 )式 ( 1 2 )中电导率σ的单位是 s/m。对于土壤电导率的测量常用单位是 ms/cm。3 由双点源分析引出的三种测量组态由式 ( 1 2 )可推知 ,电流端 J对电压端 M的贡献V′ M应为V′ M=Iρ2πJM同理 ,电流端 K对电压端 M的贡献 V″M应为V″M=- Iρ2πKM式中负号表示电流 I的流向相反。所以 VM电位实际为 VM=V′ M+ V″M=Iρ2π( 1JM- 1KM) ( 1 3)式中 JM与 KM分别为 J端与 K端到 M端的距离。经过类似分析可知 ,N点电位 VN =V′ N + V″N =Iρ2π( 1JN- 1KN) ( 1 4)将式 ( 1 3)与式 ( 1 4)代入式 ( 1 2 ) ,得到电导率计算公式σ =1JM- 1JK - 1KM- 1KN2πIVM- VN( 1 5)从式 ( 1 5)又可分解出两种不同的计算公式。1 )当 JM =a,KM =2 a,KM =2 a,KN =a时 ,σ =12πaIΔVMN( 1 6)公式 ( 1 6)称为 Wenner组态下电导率的计算公式 <2 > ,其中ΔVMN=VM- VN。对于它的解释是电流 I除以电位差ΔVMN 是大地的电导 ,2πa可视为一单位长度。2 )当 JM =KN =a - b/2 ,MN =b时 ,σ =1π( a2b- b4)IΔVMN ( 1 7)图 3 Wenner组态示意图Fig.3 The scheme of Wenner array公式 ( 1 7)称为 Schlumberger组态下电导率的计算公式<3 > 。图 4 Schlumberger示意图Fig.4 The scheme of Schlumberger array3)特殊地当电压端与电流端按如图 5所示安排时 ,σ =1a +c2 - b2- 1a - c2 - b2- 1a +c2 +b2+ 1a - c2 + b2/2π IΔVMN( 1 8)对应于式 ( 1 8)的探针组态称为“Polar dipole”
组态<3 > 。图 5 “Polar diple”组态示意图Fig.5 The scheme of“Polar dipole”array4 由土壤电导率宏观分布差异性认识电位梯度分布方程 从农田土壤电导率宏观分布差异性考虑 ,对于表层土壤 ,二维平面电导率分布可用图 6所示等效电路网络表示 ,其中不同色差电阻代表不同阻值的图 6 大地电阻分布等效电路示意图Fig.6 The equivalent circuit for the spatialdistribution of soil electrical resistance分布。进一步从偏微分方程数值计算中的椭圆方程的“五点差分格式”联想到 ,它可能是一个受一定边值条件制约的椭圆型偏微分方程 . ( 1R V) =0 ( 1 9)式中 R——图 6所示农田任意点位置的电阻。从图 7分析 ,根据线性电路的 Kirchhoff定律应有Vi+ 1,j - Vi,j Ri+ 1/2 ,j + Vi,j- Vi-1,j Ri-1/2 ,j + Vi,j+ 1- Vi,j Ri,j+ 1/2 +Vi,j- Vi,j-1Ri,j-1/2=0 ( 2 0 )恰恰正是椭圆型偏微分方程的五点差分格式。所以 ,当采样点附近区域的土壤分布电阻 R视为常数时 ,式 ( 1 9)与式 ( 5)殊途同归。图 7 五点差分格式等效示意图Fig.7 The equivalent circuit for thefive- star differential schem e5 3种不同探针分布组态下的实验对比为了验证 3种不同探针分布组态下电导率计算方法的正确性 ,本文以 SCT- 1 0土壤电导仪作为测量标准 ,对 Wenner组态与 Schlumberger组态进行了对比性实验。 SCT- 1 0土壤电导仪是美国“MARTEK INSTRUMENT”公司生产的专业化仪器 ,测量原理为四端法的“Polar dipole”组态。该仪器除了测量土壤电导率之外还可测量土壤温度 ,并根据测得的土壤温度对土壤电导率测量结果进行修正。仪器的精度自检通过测量该公司提供的标准浓度的 KCL溶液完成。表 1给出了 SCT- 1 0土壤电导仪的主要指标。表 1 SCT- 10土壤电导仪性能表Tab.1 The measurement performance of thesoil EC instrument of Type SCT- 10被测参数测量范围测量精度温度 /℃ 0～ 10 0± 0 .10
电导率/ms·cm- 10～ 10～ 100～ 10 0± 0 .0 10± 0 .0 5± 0 .5表 2 土壤电导率 3种探针组态下测量结果比较Tab.2 Com parison of the measurement results fromthree types of wire array configurations/m s· cm- 1容积含水率 /% 714 .718.72 3 .42 9.93 5 .7Polar dipole 0 .0 440 .15 2 0 .3 5 60 .813 1.45 5 1.5 16Wenner 0 .0 5 10 .14
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