数学方法在工程测绘研究中的作用与意义

数学方法在工程测绘研究中的作用与意义

铁道第一勘察设计院  金立新

<内容提要>本文在研究实践的基础上，论述数学方法在工程测绘应用研究（GPS高程拟合）中的作用，以及数学方法的指导意义。

关键词：数学方法、高程拟合、全球定位系统（GPS）、函数。

一．前言

数学是研究客观事物的数量关系和空间形式的科学。数学方法是对研究对象加以定量化，然后进行定 量处理的方法。在测绘科学中，数学方法应用的范围和深度，已成为测绘科学发展的重要标志之一。

在全球定位系统（GPS）定位技术中，由于其测量定位技术的物理机制，其平面位置的精度可以达 到很高的水准，而其高程精度较其平面精度约低2～5倍。尤其是在WGS84坐标系向1954 年北京坐标系（1980年西安坐标系），1956年黄海高程系（或1985年黄海高程系）的 转换过程中，由于WGS84的大地高仅有几何意义而无物理内涵，而黄海高程系统的正常高既有 几何意义，又有地球内部质量密度分布不均匀这样一个物理现象。因此，目前此种转换是国际国内测绘学界积极探索的热门课题之一。

本文是在GPS技术测定高程的研究基础上，充分运用数学方法及数学函数所表达的抽象内涵，试图在GPS高程拟合这一课题中取得有益的研究成果。

二．数学方法的应用

1．基本概念

在GPS高程拟合中运用数学方法的关键，是针对GPS高程拟合的实际，根据似大地水准面的变化状况及水准点的分布情况，提炼一个合适的数学模型。

数学模型，是对于某个特定对象或一定问题，采用形式化数学语言来描述其特征及数量相依关系的一种数学结构，它是一组数学关系式或一套具体的数学算法。

数学模型方法，是通过建立和研究客观对象的数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。

要构建GPS高程拟合的数学模型，必须具备两个条件：（1）对GPS高程拟合机制的认识必须成 熟到可以直接数量化的程度；（2）能找到适于刻划GPS高程拟合机制的数学手段。以上这两点已基本具备。

2．构造数学模型的基本步骤

（1）提出问题

GPS所测的高程是沿法线方向到WGS84椭球面的高度，即以简单的数学曲面为基准面，它具有 明确的几何意义而缺乏物理意义，而工程测量中要求的正常高是沿垂线到似大地水准面的高度，即 以不规则的有起伏的重力等位面为基准面，具有严格的物理意义，这两种基准面是不一致的，它们之间的差距称为高程异常。有关系式如下

ζ＝H－h

式中ζ为高程异常，表示似大地水准面至参考椭球面的距离。H为大地高，h为正常高。

在进行GPS测量后，由GPS三维平差可得到各点的大地高，若网中有部分GPS点是水准联测点 ，则这些点的正常高H是已知的，即可求得这些点的高程异常。在一定范围内高程异常不为常数但 可以认为在此范围内变化平缓，可用一些数学函数来拟合，求得能反映GPS网控制范围中高程异常变化的函数，然后通过内插求得网中其它各类的高程异常。

（2）构造模型

在GPS高程拟合中，根据问题的实际，可采用曲线拟合法，曲面拟合法等确定性数学模型，而不采 用随机性、模糊性、突变性数学模型。若测区承带状分布，则可采用曲线拟合，依据GPS点至起始重合点距离在首末重合点连线上的投影值，用多项式曲线函数拟合测段似大地水准面剖面曲线。

若测区似大地水准面起伏较大，且重合点数较多时，可采用曲面拟合来逼近似大地水准面。

为了说明问题，以曲面拟合二次多项式来表述，有如下公式：

















































式中（x,y）为相对归算中心点的坐标系，（a0～a5）为拟合系数。

（3）模型的计算和分析


















上式中的二次型部分可表达为：

 



式中A阵是曲面中二次型部分ζ*（x,y）的系数矩阵，它是二阶实对称阵，总存在正交变换，将其化为标准型：













其特征方程为：






则对应的特征根为: 






若λ1λ2同号，则曲面为椭圆抛物面；若λ1λ2异号，则曲面为双曲抛物面。二次多项式表征的 曲面分为且仅分为这两种类型。至于a0,a1x,a2y通过坐标变换都会吸收进平方项中，它们不会改变曲面的类型和形状。如果ζ*（x,y）=0，则曲面退化为平面。

可以看出，特征根这一数学工具的使用，无论是第一次旋转变换时二次型部分ζ*（x,y）的系数 ，还是第二次平移变换后曲面的系数均为它的特征根。通过第二次变换还确定了曲面顶点的原坐标值，这对讨论GPS工程中拟合的似大地水准面是有指导意义的。

人们熟悉的WGS84，BJ-54等参考椭球也是二次曲面中的一种，除了函数都具有连续平滑性 之外，与GPS高程拟合中讨论的椭圆抛物面、双曲线抛物面（包括退化的平面）不同的是：前者 属于边界封闭式的有心曲面，而后者没有中心但有顶点，是一种对于自变量x,y为单值的开放性 的无界曲面。由于其各细部的几何形状不同，通过已知高程异常的约束，使采用其中某局部的曲面片模拟GPS测区内的似大地水准面成为可能。

（4）模型的验证

某GPS工程网长80KM，由26个GPS控制点组成，其中9个有三等水准成果，测区内为低丘 地区，地势呈东北向西南倾斜状。按本文方法经GPS高程拟合，与已知三等水准成果进行外部检验，互差平均值约29MM，表明高程拟合成功。

三．数学方法的特点及指导意义

1．数学方法具有高度的抽象性。它更完全、更深刻地反映了现实世界的空间形式和数量关系，为测 绘科学研究提供了简洁精确的形式化语言，加速了对GPS高程测定技术的认识过程，使GPS定位技术的理论更加深入，有助于揭示区域似大地水准面变化的规律性。

2．数学方法具有严密的逻辑性。在高程拟合的关系式推导中，展现为一系列的公式和符号，这些公 式和符号语言明确，推理论证本身严格地遵循着形式逻辑的基本法则，它的结论和精密性是严格的 。另外，关系式中的各个量之间的关系，在现实中呈错综复杂的状况，而数学工具充分提炼了其主要因素，运用数学提供的特有的逻辑思维工具和方法，把各要素之间的规律性正确合理地揭示出来，

3．数学方法具有应用的广泛性。由于数学方法是在一种“纯粹”状态下运行的，所以它取得的结果 ，可以应用于各类不同的事物和现象之中，高程拟合所采用的曲线拟合和曲面拟合在其他各领域已 充分运用，在此只不过是增加了一个应用的例子而已。另外，在各个不同的地区，可能采用的高程 拟合函数可能不一致，或同一地区应用不同拟合模型，均能达到所要求的结果与精度，这也正是数 学方法应用广泛性的一个例证。准确的数学运算，为GPS高程拟合研究提供了可靠的手段，使对高程拟合的研究从定性描述转向了定量分析，采用了矩阵方法、线性代数等数学工具。