数学发端于古代人们计数与度量的实际需要。现代的许多数学理论尽管具有非常抽象的形式，但它同 时也是现实世界空间形式和数量关系的深刻反映，因此可以广泛地应用于自然科学、社会科学和技术的各个部门，对人类认识自然和改造自然，起着重要的作用。
在我国中小学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时。在大学，不仅理工科的学生要 学习高等数学，许多文科专业也开设了高等数学。这是数学重要性的体现。然而，在我们的数学教 学中，过于注重按部就班地讲述教科书上现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的 解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是数学基础和数学哲学问题。
前不久，中央电视台10套的一档节目中，嘉宾提出这样一个问题：“有理数多还是无理数多？”有 三个答案供在场的学生选择：（A）有理数多，（B）无理数多，（C）一样多。结果，绝大多数学生选择了B，嘉宾表示了肯定。
这一问题看似浅显，但要真正理解它提出的知识背景，并作较深入的阐述，并不那么容易，因为它与 某些数学概念、数学理论赖以成立的基本前提有关，涉及了数学基础和数学哲学研究中的一个重要 问题――“无限观”，即应该如何看待数学中出现的无限多的对象（如无限多的自然数、有理数、无理数）的问题。
在数学的研究中，有两种“无限观”。当学生们作“无理数多”的解答时，是根据学过的集合论的有 关知识来回答的。集合论是一百多年前德国数学家康托尔创立的，这种理论建立在一种“无限观” ――“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。在集合论中用N＝｛（n：n是自然数｝表示全体自然数的集合就是如此。
然而，集合论之前的几千年的数学发展史中，数学研究中占主导地位的却是古希腊哲学家亚里士多德 所主张的另一种无限观――“潜无限”的观念，即把“无限”看作一个不断发展着的、又永远无法 完成的过程来看待。把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…，就是 如此。如果采用“潜无限”的观念，“有理数多，还是无理数多？”这一问题就没有什么意义，因 为有理数和无理数都为数无穷，而“无限”是一个不断发展着的、又永远无法完成的过程，不能加 以比较。正如伽利略所说：“‘等于’、‘大于’和‘小于’诸性质不能用于无限，而只能用于有限的数量。”
还需要说明的是，……
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