并联机床（ｐａｒａｌｅｌｍａｃｈｉｎｅｔｏｏｌｓ，后简称ＰＭＴ）是机器人技术与机床结构技 术结合的产物，其原型是Ｓｔｅｗａｒｔ平台型并联机器人操作机。工作空间综合是ＰＭＴ运动学 设计的核心内容，其目的是以实现刀具位姿能力，并确保运动精度和刚度为目标，确定关节变量变 化范围和结构参数。目前，ＰＭＴ尺度综合方法可分为局部和总体灵活度综合两类。Ｐｉｔｅｎｓ ［１］用数值解法寻求出一族满足特定约束的局部最优灵活度构型，Ｚａｎｇａｎｅｈ［２］在研 究各向同性条件时得到了类似的结论，黄田和汪劲松等人［３］揭示了标准Ｓｔｅｗａｒｔ平台最 优局部灵活度构型的结构参数关系。在总体灵活度综合方面，Ｇｏｓｓｅｌｉｎ和Ａｎｇｅｌｅｓ ［４，５］研究了兼顾工作空间面积和可控灵活度的结构参数设计方法。在此基础上，Ｓｔｏｕｇ ｈｔｏｎ［６］和Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙａ［７］将同一问题归结为以雅可比行列式全域均值与 最小奇异值的加权和最大为目标的多目标有约束非线性规划问题。本文以６－ＴＨＳ型并联机床结 构为对象，研究这类机床的运动学设计理论与方法。在文［３］基础上，侧重构造对静平台分层后 的局部灵活度解析模型，并据此提出一种同时兼顾灵活度，刀具位姿能力和支链干涉等因素的结构 参数尺度综合方法。最后，将该方法用于我国第一台大型镗铣类并联机床的样机设计。１尺度参数 与初始位形如图１所示，本文研究的６－ＴＨＳ型ＰＭＴ由静、动平台和６条可伸缩支链组成，各 支链一端用虎克铰与静平台联接，另端用球铰与动平台联接，且为了避免支链干涉，静平台采用分 层结构。刀具安装在动平台上，由电主轴驱动。在伺服进给电机驱动下，支链做可控伸缩运动，进 而使动平台实现五维或六维空间运动。图１ＰＭＴ结构简图与动静平台尺度参数如图２所示，在动 、静平台上建立在连体系Ｏ′－ｘ′ｙ′ｚ′和固定参考系Ｏ－ｘｙｚ。在系Ｏ－ｘｙｚ下的，点 Ｏ′的位矢ｒ可表示为ｒ＝ｑｉｗｉ＋ｂｉ－Ｒａ０ｉ（１）式中，ｗｉ，ｑｉ，ｂｉ，ａ０ｉ表 示支链ｉ的单位矢量和可变杆长，铰点Ｂｉ和Ａｉ在系Ｏ－ｘｙｚ和系Ｏ′－ｘ′ｙ′ｚ′下的位 矢；Ｒ为系Ｏ′－ｘ′ｙ′ｚ′相对系Ｏ－ｘｙｚ的姿态矩阵［１０］。图２静平台分层原则令动 、静平台保持平行且无绕ｚ轴转动，由式（１）知，Ｒ将退化为单位阵。于是，当仅受支链杆长约 束ｑｍｉｎ≤ｑｉ≤ｑｍａｘ时（ｑｍｉｎ，ｑｍａｘ表示杆长上、下限，且设６条支链相同）， ＰＭＴ的工作空间为所有开链末杆参考点可达空间的交集［１０］。因点Ｏ′可达空间的最小截面 一定在由ｚ轴与ｂｉ－ａ０ｉ张成的平面内，故一定存在一如图２所示半径为ｒ＝（ｑｍａｘ－ｑ ｍｉｎ）／２，球心位于ｚ轴上的球与可达空间内切。定义该球所辖空间为ＰＭＴ的主工作空间， 且点Ｏ′与球心重合时的位形为初始位形。参见图１和２，按如下准则对静平台分层：１）分层后 球形主工作空间半径和形心不变，且在初始位形下由ｂｉ－ａ０ｉ矢端至主工作空间形心的距离为 可变杆长均值ｑｍ。２）分层后动、静平台结构扭角α不变（见图２）。设φ表示对静平台不分层 时，在初始位形下支链轴线与ｂｉ－ａ０ｉ的夹角。根据准则１，以Ｏ′为圆心，ｑｍ为半径，在 ｂｉ－ａ０ｉ和ｚ张成的平面内作弧，将分层后的φ修正为φｉ＝φ±δ（奇数铰取正，偶数铰取 负，图中仅示出奇数铰的情况）。在此，称δ为静平台分层偏移角。根据准则２及参见图２，由余 弦定理可导出ＤｉＣｉ２＝ＤｉＢｉ２＋ＤｉＡｉ２－２ＤｉＢｉＤｉＡｉｃｏｓα（２）注意ｒ ａ＝ＤｉＡｉ，ｒｂｉ＝ＤｉＢｉ，则有ｒｂｉ＝ｑｍ（ｋｃｏｓα＋ｃｏｓ２φｉ－κ２ｓｉｎ ２α）（３）又因ＤｉＣｉ＝ｑｍｃｏｓφｉ，故铰点Ｂｉ的位矢可表示为ａ０ｉ＝ｑｍκｎａｉ ，ｂｉ＝ｑｍ［μｉκｎｂｉ＋（００ｓｉｎφ－ｓｉｎφｉ）Ｔ］（４）式中ｎｂｉ＝（ｃｏｓ β１ｉｓｉｎβ１ｉ０）Ｔ，ｎａｉ＝（ｃｏｓβ２ｉｓｉｎβ２ｉ０）Ｔ，βｋ，ｉ＝１，３， ５＝α０＋αｋ＋（ｉ－１）π３，βｋ，ｉ＝２，４，６＝α０－αｋ＋（ｉ－２）π３，κ＝ ｒａｑｍ＝ｃｏｓφ１－２μｃｏｓα＋μ２＝ｃｏｓφｉ１－２μｉｃｏｓα＋μ２ｉ，μｉ＝ ｒｂｉｒａｉ＝ｃｏｓα＋ｃｏｓ２φｉκ２－ｓｉｎ２α，α＝α２－α１，ｑｍ＝ｑｍａｘ＋ ｑｍｉｎ２，ｉ＝１，２，…，６，ｋ＝１，２．以上各式中，β１ｉ，β２ｉ，α０，α１和α ２表示ｂｉ和ａ０ｉ的位置角，初始角和分离角；ｒａ，ｒｂｉ表示动、静平台半径；μ，μｉ表 示静平台分层前后，静、动平台半径比；φ，φｉ表示静平台分层前后，在初始位形下支链轴线与 ｂｉ－ａ０ｉ的夹角。后续分析表明，φ，α，μ和δ将直接影响ＰＭＴ的灵活度。３局部灵活度 解析由文［３］知，６维支链速度ｑ与动平台六维速度νｍ的关系可表示为ｑ＝Ｊνｍ（５）式中 ，Ｊ表示雅可比矩阵。在初始位形下按动平台半径归一，可导出Ｊ＝Ａ１Ｘ１Ａ２Ｘ２…Ａ２Ｘ６ ｓｉｎφ１ｓｉｎφ２…ｓｉｎφ２－ｓｉｎφ１ＰＸ１－ｓｉｎφ２ＰＸ２…－ｓｉｎφ２ＰＸ ６ｂ１－ｂ２…－ｂ２Ｔ，式中Ａｊ＝ａｊ－ｓｇｎ（ｊ）ｂｊｓｇｎ（ｊ）ｂｊａｊ，ａｊ＝κ （１－μｊｃｏｓα），ｂｊ＝κμｊｓｉｎα，ｊ＝１，２，Ｐ＝０－１１０，Ｘｉ＝ｃｏｓβ ２ｉｓｉｎβ２ｉ，ｉ＝１，２，…，６．ＰＭＴ的运动学性能可以用雅可比的条件数，即最大奇 异与最小奇异值之比来表征［３，４，７，８］，即１≤ｗ＝ｍａｘ（σｉ）ｍｉｎ（σｉ）≤∞ （６）式中ｄｅｔ（σ２Ｅ６－ＪＴＪ）＝０（７）将式（７）展开，利用行初等变换可得到在初 始位形下雅可比奇异值的显式解析解答。σ１，４＝３２２ｊ＝１（ａ２ｊ＋ｂ２ｊ＋ｓｉｎ２ φｊ）２ｊ＝１（ａ２ｊ＋ｂ２ｊ－ｓｉｎ２φｊ）２＋４２ｊ＝１ｓｇｎ（ｊ）ｂｊｓｉ ｎφｊ２＋２ｊ＝１ａｊｓｉｎφｊ２｛｝１２（８ａ）σ３，６＝３２２ｊ＝１（ｓｉｎ２ φｊ＋ｂ２ｊ）２ｊ＝１（ｓｉｎ２φｊ－ｂ２ｊ）２＋４２ｊ＝１ｓｇｎ（ｊ）ｂｊｓｉ ｎφｊ２１２，σ２＝σ１，σ５＝σ４（８ｂ）图３奇异值随α，μ和δ的变化规律４最优构型 条件由文［３］知，当δ＝０°时，使得ｗ在整个工作空间内取得极小值的构型条件为ｃｏｓα＝ １μ，｜α｜≤π２，μ＞１，φ＝π／４（９）由计算机仿真知，当δ＞０°时，仍需有φ＝π ／４成立。于是，式（８）可改写为σ１，４＝３２１２２（１＋ｓｉｎ２δ）＋１－（μ１＋ μ２）ｃｏｓα＋μ１μ２ｃｏｓ２α１－２μｃｏｓα＋μ２ｃｏｓ２δ１２（１０ａ）σ３， ６＝３２１＋ｓｉｎ２α（μ２１＋μ２２）２（１－２μｃｏｓα＋μ２）１＋ｓｉｎ２α［ （μ２１－μ２２）ｓｉｎ２δ－μ１μ２ｃｏｓ２δ］１－２μｃｏｓα＋μ２＋ｓｉｎ４α（ μ２１＋μ２２）２４（１－２μｃｏｓα＋μ２）２｛｝１２（１０ｂ）式中μ１，２＝ｃｏｓ α＋（μ－ｃｏｓα）２ｓｉｎ２δ（１－２μｃｏｓα＋μ２）（１１）图３表示了在初始位 形下，σｉ（ｉ＝１，２，…，６）随参数α，μ和δ的变化规律。由图可见，无论分层与否，均 有σ６＝σｍａｘ和σ１＝σｍｉｎ成立；且当δ＝０°，σｍａｘ＝３为一常数，而δ的变化对 这一规律的影响甚微。于是，在初始位形下ＰＭＴ的运动学形态还可以用最小奇异值的性态来表征 ［９］，又由图可见，当μ≥２且δ≤１０°时，σｍｉｎ取得极大值的条件与不分层时几无差异 ，即仍有ｃｏｓα＝１／μ成立；且随着δ的增加，σｍｉｎ呈减小趋势，故在结构参数设计时， 应在保持不发生支链干涉前提下尽量取小的δ值。５结构参数尺度综合考察式（９）知，存在无穷 多个α，μ组合使得局部灵活度最优，且即便对于同一组合也存在无穷多个α１和α２的组合使得 α＝α２－α１，故局部最优构型存在无穷多组解答。由文［１０］知，为了提高动平台实现姿态 的能力，一般应取较大的μ（μ＝６～８）。但由最优构型条件知，当μ≥２后，有α≥６０°。 然而，不出现支链交叉的临界条件为α＝６０°，即α１和α２的最佳组合为α１＝０°，α２＝ ６０°，或α２＝０°，α１＝６０°，即形成所谓的“３—３”构型。为了权衡实现姿态能力与 灵活度之间的矛盾，现提出一种同时兼顾二者的尺度参数综合方法。首先给定球状主工作空间半径 ｒ，根据结构可实现性给定可变杆长不限ｑｍｉｎ，并令可变杆长的变化范围等于ｒ的二倍，进而 求出均值ｑｍ＝ｑｍｉｎ＋ｒ。利用最小奇异值构造相对局部灵活度约束εε＝σｍｉｎｍａｘ（ σｍｉｎ）≤１，ｍａｘ（σｍｉｎ）＝３／２（１２）给定ε（取值一般不小于０．５），由式 （１０ａ）构造方程（１＋ｓｉｎ２δ）＋１－（μ１＋μ２）ｃｏｓα＋μ１μ２ｃｏｓ２α１ －２μｃｏｓα＋μ２ｃｏｓ２δ－２（１－ε２）２＝０（１３）根据结构可实现性，给定δ和 α（α≤６０°），利用上式确定满足局部相对灵活度约束的μ＝ｍａｘ（｛μ｝∈Ｒ），继而利 用下式计算动、静平台半径ｒａ＝ｑｍ２１－２μｃｏｓα＋μ２，ｒｂｉ＝μｉｒａ（ｉ＝１， ２）（１４）当因安装电主轴需事先给定动平台半径ｒａ时，可首先由下式计算出μ＝ｃｏｓα＋ ｑ２ｍ２ｒ２ａ－ｓｉｎ２α（１５）然后由式（１１）反解出μ１和μ２，最后再考察ε是否达 到给定指标。６工程实例利用本文提出方法对并联机床进行尺度综合。如图４所示，样机采用６－ ＴＨＳ反吊结构。在设计中取定ｒ＝２７０ｍｍ，ｑｍｉｎ＝１８７０ｍｍ。为了获得良好的局部 灵活度和实现姿态能力及避免支链干涉，静平台采用分层结构，取α０＝３０°，α１＝０°和α ２＝３７．５°，并约定ｒａ＝２００ｍｍ。经支链干涉检验确定的动平台参考点在关于最小可达章动角［１０］θ＝３０°的位置空间内不发生支链干涉的最小分层偏移角δ＝５．１°。经综合后得到：ｒｂ１＝１５２７ｍｍ，ｒｂ２＝１７９６ｍｍ，ｑｍａｘ＝２４１０ｍｍ，相对灵活度指标ε＝０．５５＞０．５。图５示出了分属于不同最小可达章动角的工作空间边界在不同截平面
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