机械加工中常有由复杂曲线或型面所构成的零件，如二次曲线、凸轮、叶片、模具等。数控机床加工 这类零件时常可转换为对其廓形的列表曲线的拟合、误差精度控制及数控机床的插补方式选择等〔 １〕。就插补方式而言，一般数控机床上都配有线性插补和圆弧插补，其中圆弧插补的精度要高得 多。对曲线逼近的方法很多，作者提出了一种利用最小二乘法对非圆曲线进行分段圆弧逼近的数控 编程方法，力求简化计算，控制插补误差，有效地提高逼近效率。１最小二乘圆公式的推导设对曲 线进行圆弧逼近的圆方程为：ｘ２－２Ａｘ＋ｙ２－２Ｂｙ－Ｃ＝０（１）该方程为二次非线性方 程，其圆心坐标为（Ａ，Ｂ），圆弧半径Ｒ＝Ａ２＋Ｂ２＋Ｃ，如图１所示。由于二次非线性方程 不易作最小二乘拟合，令ｚ＝ｘ２＋ｙ２可将方程转化为一次函数形式，则曲线上第ｉ点对圆弧的 误差为：图１最小二乘圆逼近曲线δｉ＝ｚｉ－２Ａｘｉ－２Ｂｙｉ－Ｃ（２）只要使逼近圆弧对 曲线上各点距离的平方和为最小，就能保证该圆弧最逼近这段曲线。由于：Ｑ＝δ２＝∑ｎｉ＝１ （ｚｉ－２Ａｘｉ－２Ｂｙｉ－Ｃ）２（３）由求极值的法则可知，若使Ｑ最小则必有：ＱＡ ＝ＱＢ＝ＱＣ＝０（４）故有：ＱＡ＝∑ｎｉ＝１２（ｚｉ－２Ａｘｉ－２Ｂｙｉ－ Ｃ）（－２ｘｉ）＝０ＱＢ＝∑ｎｉ＝１２（ｚｉ－２Ａｘｉ－２Ｂｙｉ－Ｃ）（－２ｘｉ） ＝０ＱＣ＝∑ｎｉ＝１２（ｚｉ－２Ａｘｉ－２Ｂｙｉ－Ｃ）（－１）＝０（５）整理成正规 方程：Ａ∑ｎｉ＝１２ｘ２ｉ＋Ｂ∑ｎｉ＝１２ｘｉｙｉ＋Ｃ∑ｎｉ＝１ｘｉ＝∑ｎｉ＝１ｘｉｚ ｉＡ∑ｎｉ＝１２ｘｉｙｉ＋Ｂ∑ｎｉ＝１２ｙ２ｉ＋Ｃ∑ｎｉ＝１ｙｉ＝∑ｎｉ＝１ｙｉｚｉＡ ∑ｎｉ＝１２ｘｉ＋Ｂ∑ｎｉ＝１２ｙｉ＋Ｃｎ＝∑ｎｉ＝１ｚｉ（６）在理论轮廓上取连续三点 ，即ｎ＝３，通过上述方程组可以求出Ａ，Ｂ，Ｃ这３个常数，由此可求出圆弧参数Ｒ及圆心坐标 ，不过这种计算方法比较繁琐。２曲线的逼近方法２１求分段逼近圆弧的程序编制如图１所示， 先在曲线上取三点Ａ，Ｂ，Ｃ，用这三点求出最小二乘圆，然后求出这三点对最小二乘圆的距离误 差，若不超过规定的逼近误差，则继续取点运算，取第４点Ｄ，用Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ求出新的二乘圆 ，并求这四点对二乘圆的距离误差，若不超过规定的逼近误差，则继续运算直到误差达到逼近误差 为止（取刚超过逼近误差的上一点的圆作为最后得到的二乘圆）。然后以上一段圆弧的终点作下一 段圆弧的起点求下一段曲线的二乘圆，直到将曲线逼近完成〔２〕。采用这种方法的特点有：该方 法先用连续的三点作最小二乘圆，在不超过拟合误差的前提下可逐次拓展圆弧，即可通过四点、五 点甚至更多点，这样就可以删除大量的型值点。对于ｎ＋１个型值点的曲线来说，双圆弧拟合法需 要２ｎ段圆弧，圆弧样条拟合法需要ｎ段圆弧，而采用该方法最多只需要ｎ／２段圆弧，这就是采 用该方法的优点之所在２２分段圆弧之间的连接最小二乘圆之间既不连接也不光滑，因而仅用这 种二乘圆无法代替曲线。因此，将二乘圆圆弧均以理论曲线上的点作为起点与终点，这样就保证了 各圆弧间的连续性。令点（ｘ０，ｙ０）与点（ｘｎ，ｙｎ）分别为理论曲线上的起点与终点，则 由式（２）和（６）得：ｚ０－２Ａｘ０－２Ｂｙ０－Ｃ＝０ｚｎ－２Ａｘｎ－２Ｂｙｎ－Ｃ＝０ ｚ－２Ａｘ－２Ｂｙ＝０（７）式中：ｘ＝１ｎ－１∑ｎ－１ｉ＝１ｘｉ，ｙ＝１ｎ－１∑ｎ－１ ｉ＝１ｙｉ，ｚ＝１ｎ－１∑ｎ－１ｉ＝１ｚｉ。由此可见，用式（７）不但可求出参数Ａ，Ｂ， Ｃ，而且用此方法比用式（６）来求更简便，解之得：２Ａ＝ｙｎ（ｚ０－ｚ）－ｙ０（ｚｎ－ｚ ）－ｙ（ｚ０－ｚｎ）ｙｎ（ｘ０－ｘ）－ｙ０（ｘｎ－ｘ）－ｙ（ｘ０－ｘｎ）２Ｂ＝ｘｎ（ｚ ０－ｚ）－ｘ０（ｚｎ－ｚ）－ｘ（ｚ０－ｚｎ）ｘｎ（ｙ０－ｙ）－ｘ０（ｙｎ－ｙ）－ｘ（ｙ ０－ｙｎ）Ｃ＝ｚ－２Ａｘ－２Ｂｙ（９）此时圆心坐标：ｘ＝４ｙ＝Ｂ｛半径：Ｒ＝Ａ２＋Ｂ２ ＋Ｃ编程时圆弧插补参数：ｉ＝ｘ－ｘ０ｋ＝ｙ－ｙ０２３曲线逼近计算步骤（１）把非圆曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）按某一规律如等弧长ΔＳ或按等步长Δｘ，选取ｎ＋１个点（ｘ０，ｙ０），（ｘ２ ，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ）；（２）把这ｎ个点分为若干组，并以其中ｍ个点的坐标为一组； （３）利用式（９）计算出逼近圆弧参数Ａ，Ｂ，Ｒ，ｉ，ｋ等值，计算流程见图２。图２计算流 程图（４）利用式（２）计算逼近误差δｉ，从中求出误差δｎ作为该段圆弧的逼近误差，设曲线 插补的允许误差ｅ，则应满足δｎ＜ｅ。若δｎ≤ｅ，则可增加曲线段的长度，使δｎ接近于ｅ， 提高编程效率；若δｎ＞ｅ，可减少被逼近曲线段的长度，即减少逼近曲线坐标点，直到满足精度 要求为止。３应用实例某阿基米德螺线方程为：ρ＝４０＋１０θ／π，曲线插补的允许误差为ｅ ＝０．００５ｍｍ，以下述五点为例进行计算（见表１）。利用式（９）可以求得２Ａ＝０．４１ ８８，２Ｂ＝６．３３４，Ｃ＝１５８３．２４８０，因而可得最小二乘圆方程为：ｚ－０．４１ ８８ｘ－６．３３４ｙ－１５８３．２４８０＝０表１五点计算实例型值点极角θρ值对应直角坐 标（ｘｉ，ｙｉ）ｚ＝ｘ２ｉ＋ｙ２ｉＰ００°４０．００００４０．００００，０．００００） １６００．００００Ｐ１１°４０．０５５６（４０．０４９５，０．６９９１）１６０４．４５ １２Ｐ２２°４０．１１１１（４０．０８６７，１．３９９９）１６０８．９０３２Ｐ３３°４ ０．１６６７（４０．１１６６，２．１０２２）１６１３．３５９７Ｐ４４°４０．２２２２（ ４０．１２４２，２．８０５８）１６１７．８２３９将点Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３的坐标值代入上式， 即可得出实轮廓曲线与理论曲线的误差分别为：δ１＝０．００２４δ２＝－０．００００７７δ ３＝－０．００２４得：δｎ＝δ２１＋δ２２＋δ２３＝０．００３４≤０．００５（ｍｍ）， 与ε比较接近，若取六点作最小二乘圆弧逼近则有可能超差，因此可以认为第一段圆弧结束，该段 圆弧的圆心坐标为：ｘ＝０．２０９，ｙ＝３．１６７。半径：Ｒ＝０．２０９２＋３．１６７２ ＋１５８３．２４８＝３９．９１６（ｍｍ）。用类似的方法接下去可进行第二段圆弧逼近运算， 直至逼近曲线的终点为止。４结论（１）提出了一个改进的最小二乘圆的计算公式，又通过对曲线 的圆弧分析，得出了一种较为简便的计算参数Ａ，Ｂ，Ｃ的公式；（２）提出的方法对非圆曲线有 较高的逼近精度，计算步距越小，所得圆弧对曲线越吻合，计算结果越可靠，各段圆弧间的连接也 越光滑；（３）适用于各种函数或列表曲线表示的凸轮或非圆齿轮节曲线的拟合，列表曲线的点应 足够密；（４）应用该方法，通过误差比较，删除了大量型值点，因而逼近圆弧段数少，使编程工 作量明显减少。一种非圆曲线的圆弧逼近方法@康善存@蒋君侠$浙江大学机械厂非圆曲线,最小 二乘圆,逼近,误差建立了一种非圆曲线最小二乘圆弧逼近的数学模型，能减少拟合圆弧段数，有 效控制插补误差，计算简单，提高了加工效率和质量。１李福生数控机床程序编制北京：机械 工业出版社，１９８２２９～３５２李有法数值计算方法北京：高等教育出版社，１９４． ７９～８２８０，因而可得最小二乘圆方程为：ｚ－０．４１８８ｘ－６．３３４ｙ－１５８３． ２４８０＝０表１五点计算实例型值点极角θρ值对应直角坐标（ｘｉ，ｙｉ）ｚ＝ｘ２ｉ＋ｙ２ ｉＰ００°４０．００００４０．００００，０．００００）１６００．００００Ｐ１１°４０． ０５５６（４０．０４９５，０．６９９１）１６０４．４５１２Ｐ２２°４０．１１１１（４０ ．０８６７，１．３９９９）１６０８．９０３２Ｐ３３°４０．１６６７（４０．１１６６，２ ．１０２２）１６１３．３５９７Ｐ４４°４０．２２２２（４０．１２４２，２．８０５８）１ ６１７．８２３９将点Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３的坐标值代入上式，即可得出实轮廓曲线与理论曲线的误 差分别为：δ１＝０．００２４δ２＝－０．００００７７δ３＝－０．００２４得：δｎ＝δ２ １＋δ２２＋δ２３＝０．００３４≤０．００５（ｍｍ），与ε比较接近，若取六点作最小二乘 圆弧逼近则有可能超差，因此可以认为第一段圆弧结束，该段圆弧的圆心坐标为：ｘ＝０．２０９ ，ｙ＝３．１６７。半径：Ｒ＝０．２０９２＋３．１６７２＋１５８３．２４８＝３９．９１６ （ｍｍ）。用类似的方法接下去可进行第二段圆弧逼近运算，直至逼近曲线的终点为止。４结论（ １）提出了一个改进的最小二乘圆的计算公式，又通过对曲线的圆弧分析，得出了一种较为简便的 计算参数Ａ，Ｂ，Ｃ的公式；（２）提出的方法对非圆曲线有较高的逼近精度，计算步距越小，所 得圆弧对曲线越吻合，计算结果越可靠，各段圆弧间的连接也越光滑；（３）适用于各种函数或列 表曲线表示的凸轮或非圆齿轮节曲线的拟合，列表曲线的点应足够密；（４）应用该方法，通过误 差比较，删除了大量型值点，因而逼近圆弧段数少，使编程工作量明显减少。一种非圆曲线的圆弧 逼近方法@康善存@蒋君侠$浙江大学机械厂非圆曲线,
最小二乘圆,逼近,误差建立了一种非圆曲线最小二乘圆弧逼近的数学模型，能减少拟合圆弧段数，有效控制插补误差，计算简单，提高了加工效率和质量。１李福生数控机床程序编制北京：机械工业出版社，１９８２２９～３５２李有法数值计算方法北京：高等教育出版社，１９４．７９～８２
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