1 引言众所周知,数控机床所用的计算机数控装置都只具备直线和圆弧的插补功能.但在实际的机 械加工中,还是会经常遇到诸如抛物线(ｐａｒａｂｏｌｉｃ)、螺线(ｓｐｒｉａｌ)、渐开线 (ｉｎｖｏｌｕｔｅ)、摆线(ｔｒｏｃｈｏｉｄ)等非圆曲线轮廓以及一些规则曲面甚至任意曲 面,加工这些曲线或曲面轮廓以往一般常用直线和圆弧来拟合,不但加工程序庞大,而且存在着较 大的逼近误差,影响机床的生产率和所加工零件的精度,同时,也增加了编程的难度和工作量.因 此,对于一些列表曲线(面)必须有自己单独的直接插补算法.本文根据时间分割法插补原理,应 用到抛物面曲线上,只要找出该曲线微小段和相应时间参数的近似解析关系,就可得出基于时间分 割的抛物面曲线直接插补算法.该算法通过给出一些唯一确定该曲线段的特征参数,即可完成抛物 面曲线的插补运算并得出加工程序.2 基于时间分割法的直接插补算法的推导如图1所示为抛物 面曲线,其参数方程为ｘ=ｔｃｏｓｔｙ=ｔｓｉｎｔｚ=ａｔ(1)式中:ｔ为参数;ａ为导程 系数,即为螺旋线在ｘｙ平面上每绕过1ｒａｄ时沿ｚ轴所走过的路程.加工的起点为Ｐ0(ｘ0 ,ｙ0,ｚ0),终点为Ｐε(ｘε,ｙε,ｚε),进给速度为Ｆ.设刀具现行位置为Ｐｉ(ｘ ｉ,ｙｉ,ｚｉ),插补计算就是要求得经过一个插补周期Ｔ后刀具应到达的下一点Ｐｉ+1,进 而得到一个插补周期里ｘ,ｙ,ｚ轴进给增量Δｘ,Δｙ,Δｚ,再控制ｘ,ｙ,ｚ轴电动机同时 走步,其合成运动轨迹就是要插补进给量ｆ.以后按顺序地计算一段,进给一段,就可以到达抛物 面曲线的插补终点.图1 抛物面曲线插补由方程(1)可知Ｐｉ点的坐标为ｘｉ=ｔｉｃｏｓｔ ｉｙｉ=ｔｉｓｉｎｔｉｚｉ=ａｔｉ(2)经一个插补周期后参数为ｔｉ+1=ｔｉ+Δｔｉ因 而新的插补点Ｐｉ+1的坐标为ｘｉ+1=ｔｉ+Δｔｉｃｏｓ(ｔｉ+Δｔｉ)ｙｉ+1=ｔｉ +Δｔｉｓｉｎ(ｔｉ+Δｔｉ)ｚｉ+1=ａ(ｔｉ+Δｔｉ)(3)则ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮ ａｎｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ)Ｄｅ ｃ.2002Δｘｉ+1=ｘｉ+1-ｘｉ =ｔｉ+Δｔｉｃｏｓ(ｔｉ+Δｔｉ)-ｔｉｃ ｏｓｔｉΔｙｉ+1=ｙｉ+1-ｙｉ =ｔｉ+Δｔｉｓｉｎ(ｔｉ+Δｔｉ)-ｔｉｓｉｎ ｔｉΔｚｉ+1=ｚｉ+1-ｚｉ=ａΔｔｉ(4)于是ｆ2=Δｘ2ｉ+1+Δｙ2ｉ+1+Δ ｚ2ｉ+1 =<ｔｉ+Δｔｉｃｏｓ(ｔｉ+Δｔｉ)- ｔｉｃｏｓｔｉ>2+<ｔｉ+Δ ｔｉｓｉｎ(ｔｉ+Δｔｉ)- ｔｉｓｉｎｔｉ>2+ａ2Δｔ2 =(ｔｉ+Δｔｉ- ｔｉ)2- 2ｔｉ+ΔｔｉｔｉｃｏｓΔｔｉ+ａ2Δｔ2(5)由于插补步长ｆ很小,所对 应的参数增量Δｔｉ也很小,为了提高插补算法的实时性,ｃｏｓΔｔｉ取近似值,对于精加工, 取:ｃｏｓΔｔｉ≈1-12Δｔ2ｉ并根据初等函数的泰勒展开式可对ｔｉ+Δｔｉ取近似值, 为ｔｉ+Δｔｉ=ｔｉ+Δｔｉ2ｔｉ代入式(5)中并舍去Δｔｉ的高次项,可求得Δｔｉ为Δ ｔｉ=ｆ4ｔｉ+ｔｉ+ａ2(6)令Ａｉ=ｃｏｓΔｔｉ,Ｂｉ=ｓｉｎΔｔｉ,由式(3)得 ｘｉ+1=ｔｉ+Δｔｉｔｉ(Ａｉｘｉ-Ｂｉｙｉ)ｙｉ+1=ｔｉ+Δｔｉｔｉ(Ａｉｙｉ+ Ｂｉｘｉ)ｚｉ+1=ｚｉ+ａΔｔｉ(7)可见,利用式(7)进行抛物面曲线插补的关键就是 计算出Ａｉ与Ｂｉ.若直接按三角函数计算Ａｉ与Ｂｉ,会耗费ＣＰＵ宝贵的时间.因此,为了减 少计算时间,可采用近似计算来求Ａｉ与Ｂｉ.当ｘ很小时,ｘ/2更小,有ｔａｎ(ｘ/2)= ｘ/2.令ｘ=Δｔｉ,根据三角函数公式可知Ａｉ=ｃｏｓΔｔｉ≈1-(Δｔｉ/2)21+ (Δｔｉ/2)2=4-Δｔ2ｉ4+Δｔ2ｉＢｉ=ｓｉｎΔｔｉ≈Δｔ2ｉ1+(Δｔｉ/2 )2=4Δｔｉ4+Δｔ2ｉ(8)为了节约ＣＰＵ的时间,引入Ｃｉ=4+Δｔ2ｉ,有Ｃｉ= 4+Δｔ2ｉＡｉ=4-Δｔ2ｉ4+Δｔ2ｉ=8-ＣｉＣｉＢｉ=4Δｔｉ4+Δｔ2ｉ=4 ΔｔｉＣｉ(9)用式(8)或式(9)的近似公式计算Ａｉ与Ｂｉ,能够保证所有插补点均落在 实际的曲线上,不会产生累积误差,仅造成每次插补进给量ｆ的微小变化,因此,式(6),(7),(8),(2)即为右旋抛物面曲线插补的递推公式.同理,可得左旋抛物面曲线的插补计算公式.抛物面曲线的插补流程图如图2所示.图2 抛物面曲线插补流程注:“±”,“”号,上部符号用于右旋抛物面曲线,下部符号用于左旋抛物面曲线3 插补仿真本文所提出的抛物 面曲线直接插补算法已经用ＶｉｓｕａｌＣ++6.0编程仿真,证明了该算法的正确性和有效性 .表1列出了该算法对各种抛物面曲线在不同的理想插补步长下的实际插补步长的变化情况,可见 抛物面曲线直接插补算法的插补步长的变化率不到1%,可以认为该算法插补进给速度是均匀的. 图3是该直接插补算法的仿真结果.表1 实际插补步长的变化情况单位:ｍｍａｆ0.020. 040.060.080.100.1ｆｍｉｎｆｍａｘ0.0200120.0200000. 0400460.0400000.0601010.0600000.0801750.080 0000.1002680.1000000.2ｆｍｉｎｆｍａｘ0.0200120.020 0000.0400450.0400000.0601000.0600000.080174 0.0800000.1002650.1000000.4ｆｍｉｎｆｍａｘ0.020011 0.0200000.0400440.0400000.0600960.0600000.0 801660.0800000.1002540.100000 ｔ=2～200图3 仿真 结果在插补的仿真中测得该算法每次插补仅耗时0.063ｍｓ,相对插补周期8ｍｓ或4ｍｓ来 说是一个很短的时间,完全可以满足高性能数控系统的实时性要求.在插补公式的推导过程中,可 以看出,只有当Δｔ非常小时,插补运算才能满足一定的精度要求,而且由于基于时间分割法插补 是以弦长代弧长进行逼近的,故插补误差与曲线段的曲率半径、进给速度、参数ａ以及Δｔ等有关 ,对于曲率半径较小的曲线段可以通过采用低进给速率来提高其插补精度.4 结论通过上面的论 证、推导以及举例分析,可以得出所给出的基于时间分割法的抛物面曲线的直接插补算法完全可以 满足数控系统高速实时性的要求,并且能提高抛物面的加工效率和加工精度.基于时间分割法的抛物面曲线直接插补算法的研究@曹苏明$南昌大学机电工程学院!江西南昌330029
@罗良玲$南昌大学机电工程学院!江西南昌330029
数控;;时间分割法;;
插补;;抛物面 曲线提出了一种基于时间分割的抛物面曲线的直接插补算法.同时介绍了该方法的基本原理和较详 细的推导过程,并通过软件对该算法进行了仿真.结果表明该方法具有非常高的插补精度和较高的 插补进给速度,完全满足现代中、高档专用CNC系统插补的实时性要求,并为基于PC机的开放 体系的计算机数控装置的在线自动编程打下了坚实的理论基础.该插补方法具有一定的实用性和推 广价值.<1> 刘斌,肖跃加,张祥林,等.基于圆心角分的双曲线、抛物线插补算法
.华中理工大学学报,1997.
<2> 石毅,刘东辉,简林柯,等.基于时间分割法的两种抛物线插补算法的比较研究及n分步长算法.组合机床与自动化加工技术,1999,(4):14-17.
<3> 罗良玲,刘旭波.基于时间分割法的圆柱螺旋线直接插补算法.南昌大学学报(工科版),2001,23(4):57-59.
<4> 张春良.时间分割法圆锥螺旋线插补算法.制造技术与机床,2000,(5):5 2-53.63ｍｓ,相对插补周期8ｍｓ或4ｍｓ来说是一个很短的时间,完全可以满足高性能 数控系统的实时性要求.在插补公式的推导过程中,可以看出,只有当Δｔ非常小时,插补运算才 能满足一定的精度要求,而且由于基于时间分割法插补是以弦长代弧长进行逼近的,故插补误差与 曲线段的曲率半径、进给速度、参数ａ以及Δｔ等有关,对于曲率半径较小的曲线段可以通过采用 低进给速率来提高其插补精度.4 结论通过上面的论证、推导以及举例分析,可以得出所给出的 基于时间分割法的抛物面曲线的直接插补算法完全可以满足数控系统高速实时性的要求,并且能提 高抛物面的加工效率和加工精度.基于时间分割法的抛物面曲线直接插补算法的研究@曹苏明$南昌大学机电工程学院!江西南昌330029
@罗良玲$南昌大学机电工程学院!江西南昌330029数控;;时间分割法;;插补;;抛物面 曲线提出了一种基于时间分割的抛物面曲线的直接插补算法.同时介绍了该方法的基本原理和较详 细的推导过程,并通过软件对该算法进行了仿真.结果表明该方法具有非常高的插补精度和较高的 插补进给速度,完全满足现代中、高档专用CNC系统插补的实时性要求,并为基于PC机的开放 体系的计算机数控装置的在线自动编程打下了坚实的理论基础.该插补方法具有一定的实用性和推 广价值.<1> 刘斌,肖跃加,张祥林,等.基于圆心角分的双曲线、抛物线插补算法.华中理工大学学报,1997.
<2> 石毅,刘东辉,简林柯,等.基于时间分割法的两种抛物线插补算法的比较研究及n分步长算法.组合机床与自动化加工技术,1999,(4):14-17.
<3> 罗良玲,刘旭波.基于时间分割法的圆柱螺旋线直接插补算法.南昌大学学报(工科版),2001,23(4):57-59.
<4> 张春良.时间分割法圆锥螺旋线插补算法.制造技术与机床,2000,(5):52-53.