并联机床 (ＰａｒａｌｌｅｌＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ)又称为虚拟轴机床 (ＶｉｒｔｕａｌＡｘｉｓＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ) ,是 90年代中期问世的数控机床新结构 ,是机器人技术与机床结构技术结合的产物 ,其原型是并联机器人操作机<1> 。近年来 ,国内外研究者在这一领域进行了大量的研究工作。但目前并联机床的原型大多都是基于Ｓｔｅｗａｒｔ平台及其变形型式的结构。此类并联机床最大特点是加工精度高、结构抗震性及切削稳定性好,但同时也存在工作空间小、难于实现大倾角加工等不足。我们提出了一种基于四自由度空间并联机构的并联机床的新结构<2 > 。1 新型并联机床布局方案图 1为新型并联机床的布局方案图 ,该并联机床的主进给机构为一个四自由度空间并联机构 ,该机构由一固定平台 (Ａ1、Ａ2 、Ａ3 )和一运动平台 (Ｂ1、Ｂ2 、Ｂ3 )组成。固定平台与动平台之间通过四条腿相联 ,其中周围三条腿与固定平台之间通过虎克铰或球铰相联 ,周围三条腿与动平台之间通过球铰相联 ,中间腿一端与固定平台的中心Ｏ刚性固联 ,另一端通过球铰Ｏ1与动平台相联。周围三条腿的长度分别为ｌ1、ｌ2 、ｌ3 ,中间腿的长度为ｌ4 。将该机构的固定平台与机床的机架刚性固联 ,使并联机构倒置于工作台上方 ,工作台在伺服电机驱动下完成Ｘ、Ｙ方向的进给运动 ,两个运动合成即可实现数控机床加工所需的自由度要求 ,该布局结构形式使得并联机床的工作空间大为增加 ,实现了位置和姿态控制的解耦并且可以实现大倾角加工。2 运动学分析图 2为四自由度主进给机构的机构图 ,如图所示图 2 主进给机构图在固定平台的中心建立基础坐标系Ｒ0 ,在铰接点Ｏ1建立动坐标系Ｒ1。记各驱动杆长为ｌｉ,输入速度为ｌ·ｉ,输入加速度为ｌ¨ｉ;动平台角速度为ω ,角加速度为ε,质心速度为υｐ,质心加速度为ａｐ;各驱动杆角速度为ωｉ,角加速度为εｉ,上半段质心速度、加速度分别为ｖｉ1和ａｉ1,下半段质心速度、加速度分别为ｖｉ2 和ａｉ2 ,驱动杆上下段质心分别距Ｂｉ 和Ａｉ 点长为ｈｉ1和ｈｉ2 ,并记ｒｉ=Ｂｉ-Ｏ1,ｒｐ=Ｐ -Ｏ1,ｒＴ=Ｔ -Ｏ1,ｅｉ=(Ｂｉ-Ａｉ) /ｌｉ,ｈ =Ｐ -Ｏ1。2 .1 速度分析令 :ｋ =<0 ,0 ,1>Ｔ,由动平台和驱动杆上Ｂｉ 点速度相等可得 :ｉ4 ｋ =ω×ｒｉ=ｌｉωｉ×ｅｉ+ｉｉｅｉ (ｉ=1,2 ,3) (1)用ｅｉ 点乘式 (1)两边可得 :ｅｉ·(ｉ4 ｋ +ω×ｒｉ) =ｉｉ (ｉ=1,2 ,3) (2 )以上 3式可合写为 :<Ｄ><ω>=<Ｆ><Ｌ·>(3)式中 :<Ｌ·>=<ｌ·1,ｌ·2 ,ｌ·3 ,ｌ·4 >,<Ｄ>=<<Ｄ1>,<Ｄ2 >,<Ｄ3 >>Ｔ,<Ｄｉ>=ｅＴｉ<ｒ ｉ>,<Ｆ>=<Ｅ3× 3 Ｆ′>,Ｆ′ =<ｅＴ1ｋ ,ｅＴ2 ｋ ,ｅＴ3 ｋ>Ｔ。则 :<ω>=<Ｄ>- 1<Ｆ><Ｌ·>=<Ｇ><Ｌ·>(4)用ｅｉ 叉乘式 (1)两边可得 :ｅｉ× (ｌ·4 ｋ +ω×ｒｉ) =ｌｉｅｉ× (ωｉ×ｅｉ) (ｉ=1,2 ,3)(5 )将式 (4)代入上式 ,经整理可写为如下的矩阵形式 :<Ｖｉ><ωｉ>=<Ｈｉ><Ｌ·> (ｉ=1,2 ,3) (6 )式中 :<Ｖｉ>=<Ｅ3× 3 >-ｅｉｅｉＴ,<Ｈｉ>=ｌ- 1ｉ <ｅ ｉ>{ <ｒ ｉ><Ｇ>+Ｈ′} ,Ｈ′ =<Ｏ3× 3 Ｆ′>则 :<ωｉ>=<Ｖｉ>- 1<Ｈｉ><Ｌ·>=<ｋｉ><Ｌ·>(7)驱动杆上下段的质心速度分别为 :Ｖｉ1=ｌ·4 ｋ +ω×ｒｉ-ｈｉ1ωｉ×ｅｉＶｉ2 =ｈｉ2 ωｉ×ｅｉ(8)将式 (4) (7)代入上式 ,经整理可得 :<Ｖｉ1>=<ＧＣｉ1><Ｌ·><Ｖｉ2 >=<ＧＣｉ2 ><Ｌ·>(9)式中 :<ＧＣｉ1>=<ｒ ｉ><Ｇ>-ｈｉ1<ｅ ｉ><Ｋｉ>+ <Ｏ3×3 ｋ>,<ＧＣｉ2 >=ｈｉ2 <ｅ ｉ><Ｋｉ>由于 :Ｖｐ=ｌ·4 ｋ +ω×ｒｐ (10 )将式 (4)代入上式整理可得 :<Ｖｐ>=<Ｍ ><Ｌ·>(11)式中 :<Ｍ >=<ｒ Ｐ><Ｇ>+ <Ｏ3× 3 ｋ>2 .2 加速度分析由动平台和驱动杆上Ｂｉ 点加速度相等可得 :ｌ¨4 ｋ +ε×ｒｉ+ω× (ω×ｒｉ) =ｌｉεｉ×ｅｉ+ｌｉωｉ× (ωｉ×ｅｉ) +ｌ¨ｉｅｉ+ 2ｉｉωｉ×ｅｉ (ｉ=1,2 ,3) (12 )用ｅｉ 点乘上式两边可得 :ｅｉ·{ｌ¨4 ｋ +ε×ｒｉ+ω× (ω×ｒｉ) } =ｌｉｅｉ·{ωｉ× (ωｉ×ｅｉ) } +ｌ¨ｉ (ｉ=1,2 ,3) (13)上式可改写为 :ｅｉ·(ε×ｒｉ) =ｌ¨ｉ-ｅＴｉ(ｌ¨4 ｋ) +ｌｉｅＴｉ{ωｉ× (ωｉ×ｅｉ) }-ｅＴｉ{ω× (ω×ｒｉ) } (ｉ=1,2 ,3) (14)上式可整理为 :<Ｄ><ε>=<Ｆ><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ <ＨＢ><Ｌ·>(15 )式中 :<Ｄ>、<Ｆ>同式 (3) ,<ＨＢ>={ <ＨＢ1>,<ＨＢ2 >,<ＨＢ3 >} ,运算符 及矩阵 <ＨＨ1>见文献<4 > ,<ＨＢｉ>=ｌｉｅＴｉ(<Ｋｉ>Ｔ <ＨＨ1><ｅ ｉ>,<Ｋｉ>) -ｅＴｉ(<Ｇ >Ｔ <ＨＨ1><ｒ ｉ><Ｇ>)。于是有 :<ε>=<Ｇ><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ <Ｈ><Ｌ·>(16 )式中 :<Ｇ>同式 (4) ,<Ｈ>=<Ｄ>- 1<ＨＢ>用ｅｉ 叉乘式 (12 )两边可得 :ｅｉ× {ｌ¨4 ｋ +ε×ｒｉ+ω× (ω×ｒｉ) } =ｌｉｅｉ× (εｉ×ｅｉ)+ｌｉｅｉ× {ωｉ× (ωｉ×ｅｉ) } + 2ｌ·ｉｅｉ× (ωｉ×ｅｉ) (17)上式可改写为 :ｌｉｅｉ× (εｉ×ｅｉ) ={ｌ¨4 ｅ×ｋ +ｅｉ×ε×ｒｉ} +ｅｉ× <ω× (ω×ｒｉ) >-ｌｉｅｉ× {ωｉ× (ωｉ×ｅｉ) } - 2ｌ·ｉｅｉ× (ωｉ×ｅｉ)(18)将式 (4) (7) (16 )代入上式 ,整理可得 :<Ｖｉ><εｉ>=<Ｈｉ><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ <ＨＤｉ><Ｌ·>(19)式中 :<Ｖｉ>、<Ｈｉ>同式 (6 )<ＨＤｉ>=ｌ- 1ｉ ｅ-Ｔｉ (<Ｇ>Ｔ <ＨＨ1><ｒ 1><Ｇ>) -ｅＴｉ(<Ｋｉ>Ｔ <ＨＨ1><ｅ ｉ><Ｋｉ>) - 2ｌ- 1ｉ <ｅ ｉ><ｅ ｉ><Ｋｉ>于是有 :<εｉ>=<Ｋｉ><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ <Ｑｉ><Ｌ·>(2 0 )式中 :<Ｋｉ>同式 (7) ,<Ｑｉ>=<Ｖｉ>- 1<ＨＤｉ>各侧杆上下段质心加速度分别为 :ａｉ1=ｌ¨4 ｋ +ε×ｒｉ+ω× (ω×ｒｉ) -ｈｉ1εｉ×ｅｉ-ｈｉ1ωｉ× (ωｉ×ｅｉ)ａｉ2 =ｈｉ2 εｉ×ｅｉ+ｈｉ2 ωｉ× (ωｉ×ｅｉ)(2 1)将式 (4) (7) (16 ) (2 0 )代入上式并整理可得 :<ａｉ1>=<ＧＣｉ1><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ<ＨＣｉ1><Ｌ·><ａｉ2 >=<ＧＣｉ2 ><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ<ＨＣｉ2 ><Ｌ·>(2 2 )式中 :<ＧＣｉ1、<ＧＣｉ2 >同式 (9)<ＨＣｉ1>=<Ｇ>Ｔ <ＨＨ1><ｒ ｉ><Ｇ>-ｈｉ1<ｅ ｉ><Ｑｉ>-ｈｉ1<Ｋｉ>Ｔ <ＨＨ1><ｅ ｉ><Ｋｉ><ＨＣｉ2 >=ｈｉ2 <ｅ ｉ><Ｑｉ>+ｈｉ2 (<Ｋｉ>Ｔ <ＨＨ1><ｅ ｉ><Ｋｉ>)由于 :ａｐ=ｌ¨4 ｋ +ε×ｒｐ+ω× (ω×ｒｐ) (2 3)将式 (4)、(16 )代入上式整理可得 :<ａｐ>=<Ｍ ><Ｌ¨>+ <Ｌ·>Ｔ <Ｗ ><Ｌ·>(2 4 )式中 :<Ｍ >同式 (11) ,<Ｗ >=<ｒ ｐ><Ｈ>+ <Ｇ>Ｔ <ＨＨ1><ｒ ｐ><Ｇ>3 受力分析主进给机构中的动平台的受力情况如图 3所示 ,动平台所受的外力、外力矩都等效简化为刀尖点Ｔ处的外力Ｆ和外力矩Ｍ ,易得如下得力矩平衡方程 :ｆ1ｅ1×ｒ1+ｆ2 ｅ2 +ｘｒ2 +ｆ3 ｅ3 +ｘｒ3 +Ｆ×ｒＴ+Ｍ=0 (2 5 )整理可得 :<Ｖ><ｆ>=<Ｗ >(2 6 )式中 :<Ｖ>=<ｅ1×ｒ1,ｅ2×ｒ2 ,ｅ3 ×ｒ3 >,<ｆ>=<ｆ1,ｆ2 ,ｆ3 >Ｔ,<Ｗ >=Ｆ×ｒＴ+Ｍ则 :<ｆ>=<Ｖ>- 1<Ｗ >(2 7)由静力平衡方程可得 :ｆ1ｅ1+ ｆ2 ｅ2 + ｆ3 ｅ3 + ｆ4 +Ｆ =0 (2 8)于是有 :ｆ4 =- ｆ1ｅ1- ｆ2 ｅ2 - ｆ3 ｅ3 -Ｆ (2 9)4 仿真计算数值实例已知主进给机构的结构参数如下 :固定平台与动平台都为等边三角形 ,Ｒ =4 0 0ｍｍ ,ｒ =2 0 0ｍｍ ,ｈ =10 0ｍｍ ,Ｔ =2 0 0ｍｍ ,ｌ2 =6 0 0ｍｍ ,ｌ3 =70 0ｍｍ ,ｌ4 =图 4 主进给机构的运动特性图 5 主进给机构受力分析40 0ｍｍ。ｌ1以ｌ1=1ｍｍ/ｓ匀速地从5 0 0ｍｍ运动到 6 0 0ｍｍ时 ,动平台及其上的刀尖参考点的位姿速度、位姿加速度变化曲线分别如图 4所示。又假设刀具所受的外力Ｆ =<2 0 0 ,2 0 0 ,2 0 0 >ＴＮ ,外力矩Ｍ =<0 ,0 ,5 0 >ＴＮ·ｍ ,主进给机构中四条腿的受力变化曲线如图 5所示。5 结束语建立了并联机床主进给机构的封闭形式的运动学方程 ,导出了一、二阶运动影响系数。通过数值仿真 ,研究了其运动特性。通过建立机构的静力平衡方程 ,分析了切削加工载荷在各条驱动腿之间的分配情况。数值仿真实例表明 :中间腿所受的载荷较周围腿要大 ,在进行结构设计时 ,应充分考虑中间腿的强度要求。一种新型并联机床的运动学分析及受力分析@范守文$电子科技大