1 引 言 为适应高精度、高速度加工的要求 ,近年发展起来一种并联机床 (虚拟轴机床 )。由于它与串联机床相比具有运动链质量小 (加速度大 )、刚度高、机械结构简单等优点 ,因而被誉为“2 1世纪的机床”。高速加工必须具有很高的进给速度和加速度 ,而使用直线电机可避免滚珠丝杠 (齿轮、齿条 )传动中的反向间隙、惯性、摩擦力和刚度不足等缺点 ,从而实现了无接触直接驱动 ,以至于可达到 1 60 m/min以上的速度和 2 .5 g以上 (甚至 1 0 g以上 <1> )的加速度 ,定位精度也可高达 0 .5～ 0 .0 5μm<2 > 。这样便获得了高精度、高速度的位移运动 (在高速中极高的定位精度和重复定位精度 ) ,并具有极好的稳定性。尽管并联机床的机械结构不断得到简化 ,却增加了控制上的难度 ,尤其在解决虚拟轴机床的 6个驱动杆之间的强机械耦合方面。国内外已有许多文献 <3～ 8>对此进行了研究 ,但仍未得到解决。因此 ,对虚拟轴机床的解耦成为一个亟待解决的难点问题本文在使用直线电机驱动杆的基础上 ,将局部结构化思想和解耦理论相结合 ,得到一种新的解耦算法 ,从而解决了虚拟轴机床平动和转动之间的耦合问题。2 直线电机的数学模型 直线式永磁同步电动机 ( PMLSM)是直接将交流电能转换为直线运动的推力装置 ,其基本结构和原理详见文献 <9>。该系统电流内环采用磁场定向矢量控制技术 ,使动子电流矢量与定子磁场在空间正交 ,动子电流的去磁分量 id=0。系统的简化数学模型如下Fe=Kfiq=πτfiq ( 1 )Fe=Kfiq=Mdvdt+ Bv + Fl ( 2 )s=∫vdt ( 3)其中 :M是动子质量 ,B是粘滞摩擦系数 ,v是动子线速度 ,Fl是负载阻力 ,Fe是电磁推力 ,Kf 是推力系数 ,s是动子机械位移 ,f 是永磁体有效磁通 ,τ是极距。3 并联机构的运动学逆解 6位置环虚拟轴机床是建立在 Stewart平台并联机构运动的基础之上 ,虽然其有多种装配模型 <10 > ,但 6荚结构可以获得最大可能的自由度。本文的 6位置环虚拟轴机床的模型就是建立在这种结构模型之上 ,如图 1所示。图 1 Stewart平台的结构示意图 为便于分析 ,特做如下约定 :1 )选取平台的质心作为坐标原点 ,{A}和 {B}分别为建立在动、静两个平台上的笛卡尔坐标系 ,其中 A和 B分别表示坐标系的原点 ,设 XA和 XB轴分别通过 A1和 B1两点 ;2 )本机构均采用球形或柱形关节 ,简称为 G/ P结构 ;3)∠ A1AA3 =1 2 0°,∠ A3 AA5=1 2 0°,∠ B1BB3 =1 2 0°,∠ B3 BB5=1 2 0°,从而机构为对称结构。设 Aai =( aix,aiy,aiz) T 表示 Ai 在坐标系 {A}中的位置 ,Bbi =( bix,biy,biz) T 表示 Bi 在坐标系 {B}中的位置 ,而且Aai 与 XA 的夹角为λi,Bbi 与 XB 的夹角为ψi。ρA 和ρB 分别为平台 A和 B的外接圆半径。 Aai =<ρAcos(λi) ,ρAsin(λi) ,0 >( 4 ) Bbi =<ρBcos(ψi) ,ρBsin(ψi) ,0 >( 5 )设 Bqi =( qix,qiy,qiz) T为杆长矢量 Bqi =Bai - Bbi ( 6)设Bp =( x,y,z) T 为从静平台的坐标原点 B到动平台的坐标原点 A的矢量 ,而转动矩阵 BAR表明了坐标系 {A}与 {B}之间的关系 ,则 Bai =BARAai + Bp ( 7)于是杆长矢量可表示为qi =pi + p - bi ( 8)其中 ,qi,pi,bi,p分别对应于 Bqi,BARAai,Bbi,Bp,且 qi=( qix,qiy,qiz) T,BAR =( rij) 3× 3 。qi =qixqiyyiz=r11aix + r12 aiy + r13 aiz+ x - bixr2 1aix + r2 2 aiy + r2 3 aiz + y - biyr3 1aix + r3 2 aiy + r3 3 aiz+ z - biz( 9)所以杆长为qi =( q2ix + q2iy + q2iz) 1/ 2 ( 1 0 )此即著名的 Stewart平台运动学逆解方程。由上述分析可知 aiz=0 ,biz =0 ,且有 a2ix + a2iy+ a2iz=ρ2A,b2ix+ b2iy+ b2iz=ρ2B。进而根据旋转矩阵特性<11> ,则有r211+ r22 1+ r23 1=r212 + r22 2 + r23 2 =r213 + r22 3 + r23 3 =1r11r12 + r2 1r2 2 + r3 1r3 2 =0r11r13 + r2 1r2 3 + r3 1r3 3 =0r12 r13 + r2 2 r2 3 + r3 2 r3 3 =0式 ( 1 0 )可写为q2i =x2 + y2 + z2 + 2 ( aixr11+ aiyr12 ) ( x - bix) +2 ( aixr2 1+ aiyr2 2 ) ( y - biy) +ρ2A +ρ2B+2 ( aixr3 1+ aiyr3 2 ) z - 2 ( xbix + ybiy) ( 1 1 ) 若使用 Euler角 ,则旋转矩阵 BAR为 BAR = CαCβ CαSβSγ - SαCγ CαSβCγ + SαSγSαCβ SαSβSγ + CαCγ SαSβCγ - CαSγ- Sβ CβSγ CβCγ( 1 2其中 ,C为 cos,S为 sin,α,β,γ分别表示旋转角。若 q =
T表示 6荚机构的杆长矢量 , Jacobian矩阵 J表征动平台的位姿 x变化和 q变化之间的关系 <7> ,即 q =J x ( 1 3)其中 x =T则 x=T,而 p和φ分别表示杆的线速度和角速度。J=1q1q T11q1( p1× q1) T1q6q T61q1( p6× q6) T 我们所设计的解耦矩阵正是源于此 Jacobian矩阵。4 局部结构化法 (LSM)简介 LSM可用于解决并联机构的前向运动学问题( FKP) ,即运动学正解问题 ,其基本思想是 :1 )如果并联机构能分解成如四面体、三角形之类的最小结构单元 ,同时又知它们自身之间的关系 ,我们就可以解决并联机构前向运动学问题 ;2 )如果并联机构不能分解成最小结构单元 ,则可使用传感器 ,利用虚拟连接 ( virtual link)进行分解 ;3)假设可以测定它们的几条边 ,那么四面体(空间中 )或三角形 (平面中 )便得以构建 ,从而可获得其在坐标系中的所有关系 ;4)如果一个 G/P机构可解 ,而其它 G/P机构又与其共享一条或几条边 ,那么局部结构化便可由平台延拓至整个并联机构。因为使用了传感器 ,所以与 q1有关的信息均可测知 ,因此与 q1有关的信息可作为已知条件处理。如图 2所示 ,由于 A1与 Bi 已知 ,因此长度 A1Bi,图 2 Stewart平台的局部结构化分割Bi Ai,A1Ai 可知。如设 A1Bi 为矢量 vi,A1Ai 为矢量a1i,Bi Ai 为杆长矢量 qi( i=2 ,… ,6) ,则 G/P机构可以通过 vi.a1i=12 ( v2i + a21i- q2i)解出 ,从而可得到动平台的位姿。关于 LSM的详细论述见文献 <1 2 >。5 解耦矩阵的得出 对于传感器数目的选择 ,应充分考虑到补充值、并联机构的复杂程度与计算时间之间的关系 (其中 ,补充值为对于运动学逆解起修正作用的传感器的测量值 ;机构的复杂程度随传感器数目的增加而增加 ;计算时间随使用的传感器数目的减少而增大<13 > )。因此 ,本文中使用的传感器数是满足要求的最小数目。因为 Jacobian矩阵形式复杂 ,不便于分析 ,所以我们对 Jacobian矩阵 J进行如下处理后 ,式 ( 1 3)变为C q =D x ( 1 4)其中 C=q10… 00 弿 00… 0 q6D =q T1( p1× q1) T?弎 T6( p6× q6) T 矢量 vi( i =2 ,… ,6)可表示为vi =ai1- qi =b1i - q1( 1 5 )其中 B1Bi 为矢量 b1i,则vi =a1i - qi =- q1( 1 6)由 vi . a1i =12 ( v2i + a21i - q2i) ,可得qiqi =qi . q1+ qi . a1i, i =2 ,… ,6 ( 1 7) 为便于进一步分析 ,我们建立一个传感器笛卡尔坐标系 ,即杆坐标系 {C},以 q1的方向为 z1轴方向 ,x1轴在 BB1A1平面上并指向机构外 ,y1轴根据右手定则确定。则静平台坐标系与杆坐标系之间的关系可用旋转矩阵 R1表示。设α1,β1,γ1分别为坐标轴 z1,y1,x1关于坐标系 {B}旋转角 ,则仿式 ( 1 1 )可设BCR ={n1,j1,s1}。从而在 {C}下 q1可以描述为q1=q1. s1( 1 8) 假定α1=0 ,且BCR中的各列依次对α1,β1,γ1求导得s1=E .ω ( 1 9)其中 ,E =为传感器的速度矩阵ω =<β.1,γ1>T 为传感器的角速度。进而可以得到qiqi =qi . q1. s1+ qi . q1( Eω) +
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