虚拟轴机床(ＶｉｒｔｕａｌＡｘｉｓＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ),又称为并联机床(Ｐａｒａ ｌｌｅｌＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ),是20世纪90年代中期问世的数控机床新结构,是机器人 技术与机床结构技术结合的产物,其原型是并联机器人操作机<1>。近年来,国内外研究者在这 一领域进行了大量的研究工作<1,2>,但目前虚拟轴机床的原型大多都是基于Ｓｔｅｗａｒｔ 平台及其变形型式的结构。该类虚拟轴机床最大特点是加工精度高、结构抗震性及切削稳定性好, 但同时也存在工作空间小、难于实现大倾角加工等不足。为此提出了一种基于三自由度空间并联机 构的混联型虚拟轴机床的新结构<3>,该新型虚拟轴机床具有结构简单、工作空间大和可实现姿 态角大等优点。1 混联型虚拟轴机床布局方案图1为混联型虚拟轴机床的布局方案图,该虚拟轴 机床的主体为一空间并联机构,该机构由一固定平台(Ａ1、Ａ2、Ａ3)和一运动平台(Ｂ1、 Ｂ2、Ｂ3)组成。固定平台与动平台之间通过三条腿相联,其中有两条腿与固定平台之间通过虎 克铰相联,这两条腿与动平台之间通过球铰相联,另一条腿的一端与固定平台刚性固联,另一端通 过虎克铰与动平台相联。将该空间并联机构倒置于工作台上方,并将该机构的固定平台与机床的机 架刚性固联,工作台在伺服电机驱动下,完成Ｘ、Ｙ方向的进给运动,两个运动的合成便可实现数 控机床加工所需的自由度要求。该空间并联机构总的构件数ｎ=8,运动副数ｇ=9,虎克铰数为 3,移动副数为3,球铰数为2。因此有:Ｍ=6(ｎ-ｇ-ｌ)+∑ｇｉ=1ｆｉ=6×(8- 9-1)+(6+3+6)=3故该空间并联机构的自由度数为3。上述布局方案具有以下优点: (1)结构简单、工作空间大;(2)可实现姿态角大;(3)不存在多余自由度;(4)平动与 转动耦合弱;(5)结构抗震性与切削稳定性好;(6)加工工艺性好;(7)数控编程容易。2 位置正解分析2.1 坐标系及约束方程的建立(1.Ｄｅｐｔ.ｏｆＰｒｅｃｉｓｉｏｎＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｎｄＭｅｃｈａｎｉｓｍ,ＴｓｉｎｇｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ,Ｂｅｉｊｉｎｇ100084,Ｃｈｉｎａ;2.ＣｅｎｔｅｒｏｆＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ＆Ｒｅ ｓｅａｒｃｈ,Ｈｏｎｄａ.Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ510700,Ｃｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ: ＴｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｎｎｕｍｂｅｒｏｆＤＯＦｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｗｏｒ ｋ.ＹｅｔｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｅｏｆＤＯＦｐｒｏｖｉｄｅｄｉｎｍａｎｙｒｅｆｅｒｅｎｃｅｂｏｏｋｓａｒｅｎｏｔａｌｌｔｈｅｓａｍｅ,ｔｈｕｓｂｒｉｎｇｓａｂｏｕｔｉ ｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅｏｎｔｈｅｍｅｍｏｒｙａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｔｈｏｓ ｅｆｏｒｍｕｌａｅ,ａｎｄｉｔｉｓｌｉａｂｌｅｔｏｂｒｉｎｇａｂｏｕｔｃｏｎｆｕｓｉｏｎａｎｄｔｈｅｎｐｒｏｃｅｅｄｔｏｃａｕｓｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｅｒｒｏｒ.Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｘｐｏｕｎｄｅｄｔｈｅｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆａｕｔｈｏｒｓｕｐｏｎｖａｒｉ ｏｕｓｋｉｎｄｓｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｅｏｆＤＯＦ,ｐｒｏｂｅｄｉｎｔｏｔｈｅｓｉｔｕａ ｔｉｏｎａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｆｏｒｍｕｌａａｎｄｒｅ ｖｅａｌｅｄｅｓｓｅｎｔｉａｌｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｔｈｅｓｅｆｏｒｍｕｌａｓｗｉ ｔｈｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｍｅｍｏｒｙａｎｄａｐｐｌｉｃ ａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｓｅｆｏｒｍｕｌａｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ＤＯＦｃａｌｃｕｌａｔｉｏ ｎ,ＲｏｂｏｔＦｉｇ3Ｔａｂ0Ｒｅｆ5“ＪｉｘｉｅＳｈｅｊｉ”168072《机械设计》 2002年8月№8专题论文机构学与机械动力学 建立坐标系,如图2所示,坐标系设定如下 :固定坐标系Ｒ0的坐标原点位于固定平台的Ａ1点,Ｚ0轴选取为Ａ1Ｂ1方向,Ｘ0轴选取为 Ａ1Ｏ方向;动坐标系Ｒ1的坐标原点位于铰接点Ｂ1点,Ｘ1轴选取为Ｂ1Ｏ1方向。图1 虚 拟轴机床布局方案动平台上铰链点在动坐标系Ｒ1中的坐标可表示为:Ｂ′2=<ａ2,ｂ2,ｃ 2>Ｔ,Ｂ′3=<ａ3,ｂ3,ｃ3>Ｔ(1)固定平台上铰链点在固定坐标系Ｒ0中的坐标可 表示为:Ａ2=<ｄ2,ｅ2,ｆ2>Ｔ,Ａ3=<ｄ3,ｅ3,ｆ3>Ｔ(2)动平台上铰链点 在固定坐标系Ｒ0中的坐标可表示为:Ｂｉ=ＢｉｘＢｉｙＢｉｚ=Ｌ1+ＴＢ′ｉ=Ｌ1+Ｒｏ ｔ(Ｙ,α)Ｒｏｔ(Ｘ,β)ａｉｂｉｃｉ=00ｌ1+ｃｏｓαｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎαｃ ｏｓβ0ｃｏｓβ-ｓｉｎβ-ｓｉｎαｃｏｓαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβａｉｂｉｃｉ (ｉ =2,3)上式展开可得:Ｂｉ=ａｉｃｏｓα+ｂｉｓｉｎαｓｉｎβ+ｃｉｓｉｎαｃｏｓβ ｂｉｃｏｓβ-ｃｉｓｉｎβ-ａｉｓｉｎα+ｂｉｃｏｓαｓｉｎβ+ｃｉｃｏｓαｃｏｓβ+ ｌ1 (ｉ=2,3)(3)三条腿的长度ｌｉ可以用铰链点Ａｉ、Ｂｉ的坐标表示出来,这就是 机构的约束方程:｜Ａｉ-Ｂｉ｜2=ｌ2ｉ (ｉ=1,2,3)(4)2.2 约束方程的 结式消元求解式(4)整理后可得:Ａ1ｃｏｓαｃｏｓβ+Ｂ1ｓｉｎαｃｏｓβ+Ｃ1ｃｏｓ αｓｉｎβ+Ｄ1ｓｉｎαｓｉｎβ+Ｅ1ｃｏｓα+Ｆ1ｓｉｎα+Ｇ1ｃｏｓβ+Ｈ1ｓｉｎ β+Ｉ1=0Ａ2ｃｏｓαｃｏｓβ+Ｂ2ｓｉｎαｃｏｓβ+Ｃ2ｃｏｓαｓｉｎβ+Ｄ2ｓｉ ｎαｓｉｎβ+Ｅ2ｃｏｓα+Ｆ2ｓｉｎα+Ｇ2ｃｏｓβ+Ｈ2ｓｉｎβ+Ｉ2=0(5)式 中:Ａｉ,Ｂｉ,Ｃｉ,Ｄｉ,Ｅｉ,Ｆｉ,Ｇｉ,Ｈｉ,Ｉｉ———均为机构已知几何参数及输 入变量的函数。令:ｘ=ｔａｎ(α/2),ｙ=ｔａｎ(β/2),将三角恒等式ｓｉｎα=2 ｘ/(1+ｘ2),ｃｏｓα=(1-ｘ2)/(1+ｘ2)及ｓｉｎβ=2ｙ/(1+ｙ2), ｃｏｓβ=(1-ｙ2)/(1+ｙ2)代入式(5)中整理可得:Ｍ1ｙ2+Ｍ2ｙ+Ｍ3=0 Ｎ1ｙ2+Ｎ2ｙ+Ｎ3=0(6)式中:Ｍｉ、Ｎｉ (ｉ=1,2,3)———都为ｘ的二次 多项式。由结式消元法<4>,将式(6)联立消去ｙ可得:Ｍ1Ｍ2Ｍ300Ｍ1Ｍ2Ｍ3Ｎ1 Ｎ2Ｎ300Ｎ1Ｎ2Ｎ3=0(7)将上式展开,得到关于变量ｘ的8次多项式方程,即:∑8 ｉ=0ｅｉｘｉ=0(8)式中:ｅｉ (ｉ=0,1,…,8)———常系数。通过求解式(8 ),可得到ｘ的8个根。在求得ｘ后,将ｘ的值代入式(6),可求得ｙ的根。在求得ｘ、ｙ后, 将它们代入半角公式求出α、β,然后将α、β的值代入式(3),即可得Ｂ2、Ｂ3点在固定坐 标系Ｒ0中的位置坐标向量。3 工作空间分析由边界曲面分析法<8>,可得空间并联机构工作 空间边界曲面的拓扑结构(见图3)。图中Ⅰ、Ａ1、Ａ2等映射一个角点位置,Ⅰ—Ａ1间的连 线映射一段空间曲线,四边形ⅠＡ1Ａ2Ｂ1映射一张空间曲面片。图2 三自由度并联机构简图 图3 工作空间的拓扑结构图图3中的拓扑结构与机构位形之间的对应关系如下:(1)角点:所 有角点都对应着三个驱动构件处于极限长度(极大或极小),如:Ⅰ→(ｌ1ｍａｘ,ｌ2ｍａｘ ,ｌ3ｍａｘ)、Ⅱ→(ｌ1ｍｉｎ,ｌ2ｍｉｎ,ｌ3ｍｉｎ)、Ａ1→(ｌ1ｍｉｎ,ｌ2ｍ ａｘ,ｌ3ｍａｘ)。(2)曲线:所有曲线都对应着三个驱动构件处于极限长度(极大或极小) ,剩下的一个构件长度在极大极小间变化,如:ⅠＡ1→(ｌ2ｍａｘ、ｌ3ｍａｘ固定,ｌ1由 ｍａｘ变化到ｍｉｎ),曲线方程为ｌ1的函数;ⅠＢ1→(ｌ1ｍａｘ、ｌ3ｍａｘ固定,ｌ2 由ｍａｘ变化到ｍｉｎ),82 机构学与机械动力学专题论文《机械设计》2002年8月№ 8曲线方程为ｌ2的函数。(3)曲面:所有曲面都对应着两个驱动构件处于极限长度(极大或极 小),剩下的两个构件长度在极大极小间变化,如:ⅠＡ1Ａ2Ｂ1→(ｌ3ｍａｘ固定,ｌ1、 ｌ2由ｍａｘ变化到ｍｉｎ)、曲面方程为ｌ1、ｌ2的函数;ⅠＢ1Ｂ2Ｃ1→(ｌ1ｍａｘ固 定,ｌ2、ｌ3由ｍａｘ变化到ｍｉｎ)、曲面方程为ｌ2、ｌ3的函数。由上述分析计算可以看 出,三自由度空间并联机构的工作空间是,由6张曲面片包围而成的闭包。将以上角点所对应的驱 动腿长度的值代入式(4)～式(8)中,由位置正解分析可以得到动平台上参考点相对于基础坐 标系表示的位置,即工作空间边界曲面片上角点的位置坐标。类似地,还可以得到工作空间边界曲 面片的边界曲线,以及工作空间边界曲面片上的任意点的位置坐标。由此可描绘出工作空间边界曲 面的精确图形。4 数值实例例1:已知空间并联机构的结构参数如下:Ｒ=500ｍｍ,ｒ=4 00ｍｍ,ｌ1=300ｍｍ,ｌ2=350ｍｍ,ｌ3=400ｍｍ,Ｂ′2=(400ｍｍ, -400ｍｍ,-10ｍｍ),Ｂ′3=(400ｍｍ,400ｍｍ,10ｍｍ),Ａ2=(50 0ｍｍ,-500ｍｍ,-10ｍｍ),Ａ3=(500ｍｍ,500ｍｍ,10ｍｍ);由已知 结构参数,按照前述的求解方法,可求得满足约束方程的全部8组解。其中有4组实数解,4组复 数解。将解代入原方程验算,证实是正确的。现将实数解列于表1。表1 空间并联机构位置正解 的实数解ｉ1234α68.5316834327.0631172234.84352118 -6.60491270β-4.9194542140.25357409-41.15786 1173.74460186 例2:空间并联机构的结构参数同上,ｌｉｍｉｎ=350ｍｍ ,ｌｉｍａｘ=500ｍｍ (ｉ=1,2,3),参考点选取为刀尖点,其在动坐标系Ｒ1中的坐标为(400ｍｍ,0,400ｍｍ),经编程计算描绘出了其工作空间边界曲面,在ＸＹ平面及ＹＺ平面上的投影视图(如图4所示)。设工作台Ｘ、Ｙ方向的行程范围都为-500ｍｍ
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